Toán 9 Chứng minh

[Nguyễn Chi Xuyên]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 5 số thực không âm [imath]a, b, c, d, e[/imath] có tổng bằng 1. Xếp 5 số này trên một đường tròn. Chứng minh rằng luôn tồn tại một cách xếp sao cho hai số bất kì cạnh nhau có tích không lớn hơn [imath]\dfrac{1}{9}[/imath]
giúp mình với ạ .

 

[chi254]

View attachment 219471
giúp mình với ạ .

Nguyễn Chi XuyênGiả sử: [imath]a \ge b\ge c \ge d\ge e \ge 0[/imath].
Ta phải có [imath]b+c \le \dfrac{2}{3}[/imath] . Nếu ngược lại [imath]b+c> \dfrac{2}{3}[/imath] thì ta có [imath]2a>b+c>\dfrac{2}{3}[/imath] dẫn đến [imath]a>\dfrac{1}{3}[/imath]. Khi đó: [imath]a+b+c>1.[/imath] ( Vô lí)

Vậy nên [imath]bc \le \dfrac{1}{4}(b+c)^2=\dfrac{1}{9}[/imath].

Mặt khác [imath]1=a+b+c+d+e \ge a+3d+e \ge a+3d \ge 2\sqrt{3ad}[/imath]
Suy ra: [imath]ad \le \dfrac{1}{12.}[/imath]
Dẫn đến [imath]ae \le ad \le \dfrac{1}{12}<\dfrac{1}{9}[/imath]
Ta có thể xếp các số [imath]a,d,c,b,e[/imath] trên đường tròn theo thứ tự thuận kim đồng hồ.
Ta có [imath]ad<\dfrac{1}{9}, dc<ad<\dfrac{1}{9}, bc \le \dfrac{1}{9}, be \le bc \le \dfrac{1}{9}, ea \le ad \le \dfrac{1}{9}.[/imath]

Suy ra: đpcm

Có gì không hiểu thì em hỏi lại nha
Ngoài ra, em tham khảo thêm kiến thức tại [Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Toán rời rạc