Toán 9 Chứng minh

[cuduckien]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

mọi người giúp mik với.

 

[7 1 2 5]

View attachment 216022
mọi người giúp mik với.

cuduckienTồn tại 1 số nguyên dương gì vậy bạn?

 

[cuduckien]

Chỗ ý thiếu chữ sao cho hoặc tm bạn nhé.

 

[kido2006]

Chọn [imath]m=7^n[/imath]
Thì ta chỉ cần chứng minh [imath]7^n | 3^{7^n}+5^{7^n}-1[/imath]

Ta có [imath]3^{7^n}\equiv (-4)^{7^n} (\mod 7)[/imath]
Mặt khác theo LTE thì [imath]v_7(3^{7^n} - (-4)^{7^n}) = v_7(3 - (-4)) + v_7(7^n) = 1 + n[/imath]
Do đó [imath]3^{7^n}\equiv (-4)^{7^n} (\mod 7^{n+1})[/imath]
Chứng minh tương tự rồi cộng vế ta được
[imath]3^{7^n}+5^{7^n}-1 \equiv (-4)^{7^n}+(-2)^{7^n}-1=-(4^{7^n}+2^{7^n}+1)=\dfrac{-(8^{7^n}-1)}{2^{7^n}-1} (\mod 7^{n+1})[/imath]

Hoàn toàn chứng minh được [imath]7 \not | 2^{7^n}-1[/imath] bằng quy nạp
Do đó theo LTE : [imath]v_7(\dfrac{8^{7^n}-1}{2^{7^n}-1})=v_7(8^{7^{n}}-1)=v_7(8-1)+v_7(7^n)=n+1[/imath]
[imath]\Rightarrow 7^{n+1} | 3^{7^n}+5^{7^n}-1[/imath]
[imath]\Rightarrow 7^{n} | 3^{7^n}+5^{7^n}-1[/imath] (đpcm)

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Chuyên đề HSGQG] Định lý LTE, cấp của số nguyên và phương trình nghiệm nguyên chứa lũy thừa

 

[7 1 2 5]

Chọn [imath]m=7^n[/imath]
Thì ta chỉ cần chứng minh [imath]7^n | 3^{7^n}+5^{7^n}-1[/imath]

Ta có [imath]3^{7^n}\equiv (-4)^{7^n} (\mod 7)[/imath]
Mặt khác theo LTE thì [imath]v_7(3^{7^n} - (-4)^{7^n}) = v_7(3 - (-4)) + v_7(7^n) = 1 + n[/imath]
Do đó [imath]3^{7^n}\equiv (-4)^{7^n} (\mod 7^{n+1})[/imath]
Chứng minh tương tự rồi cộng vế ta được
[imath]3^{7^n}+5^{7^n}-1 \equiv (-4)^{7^n}+(-2)^{7^n}-1=-(4^{7^n}+2^{7^n}+1)=\dfrac{-(8^{7^n}-1)}{2^{7^n}-1} (\mod 7^{n+1})[/imath]

Hoàn toàn chứng minh được [imath]7 \not | 2^{7^n}-1[/imath] bằng quy nạp
Do đó theo LTE : [imath]v_7(\dfrac{8^{7^n}-1}{2^{7^n}-1})=v_7(8^{7^{n}}-1)=v_7(8-1)+v_7(7^n)=n+1[/imath]
[imath]\Rightarrow 7^{n+1} | 3^{7^n}+5^{7^n}-1[/imath]
[imath]\Rightarrow 7^{n} | 3^{7^n}+5^{7^n}-1[/imath] (đpcm)

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Chuyên đề HSGQG] Định lý LTE, cấp của số nguyên và phương trình nghiệm nguyên chứa lũy thừa

kido2006Đoạn [imath]7 \nmid 2^{7^n}-1[/imath] cần gì quy nạp nhỉ :v Ta xét đồng dư mod [imath]7[/imath] thì được [imath]7 \mid 2^k-1 \Leftrightarrow 3 \mid k[/imath] và thế là ta có điều phải chứng minh.