Kéo dài [imath]AI[/imath] cắt đường tròn [imath](O)[/imath] tại điểm [imath]D[/imath]. Vẽ đường kính [imath]DX[/imath] của [imath](O)[/imath]. Vẽ [imath]IK \perp AC[/imath].
Ta có: [imath]\widehat{DAC}=\widehat{DXC}=\dfrac{\widehat{A}}{2}[/imath]
Lại có: [imath]\sin \widehat{DAC}=\sin \widehat{IAC}=\dfrac{IK}{IA}=\dfrac{r}{IA}[/imath]
Mà [imath]\sin \widehat{DAC}=\sin \widehat{DXC}=\dfrac{DC}{DX}=\dfrac{DC}{2R} \Rightarrow \dfrac{DC}{2R}=\dfrac{r}{IA}[/imath]
[imath]\Rightarrow 2Rr=DC\cdot IA[/imath]
Mặt khác, [imath]\widehat{DIC}=\widehat{DAC}+\widehat{ICA}=\dfrac{\widehat{A}+\widehat{C}}{2}, \widehat{DCI}=\widehat{DCB}+\widehat{ICB}=\widehat{DAB}+\widehat{ICB}=\dfrac{\widehat{A}+\widehat{C}}{2}[/imath]
[imath]\Rightarrow \widehat{DIC}=\widehat{DCI} \Rightarrow DI=DC \Rightarrow 2Rr=DI \cdot IA[/imath]
Vẽ [imath]OH \perp AD[/imath] thì ta có [imath]HA=HD[/imath]. Không mất tính tổng quát giả sử [imath]K[/imath] nằm giữa [imath]D,I[/imath]
[imath]\Rightarrow 2Rr= DI \cdot IA=(DH+HI)(HA-HI)=(DH+HI)(DH-HI)=DH^2-HI^2=(DH^2+HO^2)-(HI^2+HO^2)=OD^2-OI^2=R^2-OI^2[/imath]
[imath]\Rightarrow OI^2=R^2-2Rr[/imath]
Điều kiện cần thì nó hiển nhiên rồi nhé.
Điều kiện đủ: Khi [imath]R=2r[/imath] ta có [imath]O,I[/imath] trùng nhau.
Ta có [imath]AO[/imath] là phân giác góc [imath]\widehat{A}[/imath] nên [imath]AO[/imath] đi qua điểm chính giữa [imath]D[/imath] của cung nhỏ [imath]BC[/imath].
Mà [imath]OD \perp BC[/imath] nên [imath]AO \perp BC[/imath] hay [imath]AO[/imath] là trung trực [imath]BC \Rightarrow AB=AC[/imath]
Tương tự ta cũng có [imath]BC=CA[/imath] nên [imath]\Delta ABC[/imath] đều.
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Trọn bộ kiến thức học tốt TẤT CẢ các môn học
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
