Toán 8 Chứng minh

[Nguyễn Chi Xuyên]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho các số thực dương [imath]a, b, c[/imath] thoả mãn [imath]a^{2}+b^{2}+c^{2}=1[/imath]. Chứng minh rằng:
[math]\dfrac{a^{2}}{1+2 b c}+\dfrac{b^{2}}{1+2 c a}+\dfrac{c^{2}}{1+2 a b} \geq \dfrac{3}{5}[/math]. . . . .
@HT2k02(Re-kido)

 

[vangiang124]

View attachment 207939
. . . . .
@HT2k02(Re-kido)

Nguyễn Chi XuyênTa có: [imath]\dfrac{a^2}{1+2bc} = \dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2+2bc} \ge \dfrac{a^2}{a^2+2(b^2+c^2)}[/imath]

Đặt [imath]a^2=x,b^2=y,c^2=z[/imath]

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành [imath]\dfrac{x}{x+2(y+z)}+\dfrac{y}{y+2(x+z)}+\dfrac{z}{z+2(y+x)}\ge\dfrac{3}{5}[/imath]

VT [imath]=\sum\dfrac{x}{x+2(y+z)}=\sum\dfrac{x^2}{x^2+2xy+2xz}\ge\dfrac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+4(xy+yz+xz)}[/imath] ( Áp dụng bđt Cauchy-Swarchtz)

Ta sẽ chứng minh [imath]\dfrac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+4(xy+yz+xz)}\ge\dfrac{3}{5}[/imath] (1)

Thật vậy ta có [imath](1) \iff 5(x+y+z)^2\ge 3[x^2+y^2+z^2+4(xy+yz+xz)][/imath]

[imath]\iff (x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2\ge 0[/imath] (Đúng)

Dấu "=" xảy ra khi [imath]x=y=z \iff a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt3}[/imath]
_________
Em tham khảo thêm nhé
1. Phân tích đa thức thành nhân tử
2. Phân thức đại số
3. Tứ giác
4. Đa giác, diện tích đa giác