Toán 8 Chứng minh

[Nguyễn Chi Xuyên]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho ba số a,b,c dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
[tex]\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}[/tex] [tex]\geq \frac{3}{2}[/tex]

 

[Alice_www]

Cho ba số a,b,c dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
[tex]\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}[/tex] [tex]\geq \frac{3}{2}[/tex]

$\dfrac{1}{a^{3}(b+c)}+\dfrac{1}{b^{3}(c+a)}+\dfrac{1}{c^{3}(a+b)}=\dfrac{b^2c^2}{a(b+c)}+\dfrac{a^2c^2}{b(c+a)}+\dfrac{a^2b^2}{c(a+b)}$
$\ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{2(ab+bc+ca)}=\dfrac{ab+bc+ca}{2}\ge \dfrac{3}{2}\sqrt[3]{ab.bc.ca}=\dfrac{3}2$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé
Ngoài ra em có thể tham khảo thêm các kiến thức tại: https://diendan.hocmai.vn/threads/t...o-ban-hoan-toan-mien-phi.827998/#post-4045397

 

[Only Normal]

Cho ba số a,b,c dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
[tex]\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}[/tex] [tex]\geq \frac{3}{2}[/tex]

Biến đổi vế trái :
$VT = \dfrac{1}{a^3(b+c)} + \dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)}$
$\Leftrightarrow VT = \dfrac{\dfrac{1}{a^2}}{a(b+c)}+ \dfrac{ \dfrac{1}{b^2}}{b(c+a)}+\dfrac{\dfrac{1}{c^2}}{c(a+b)}$
Áp dụng BĐT Cauchy Schawrz dạng Engel ta được :
$VT \ge \dfrac{\Bigg(\dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b}+ \dfrac{1}{c} \Bigg)^2}{2(ab+bc+ac)} = \dfrac{(ab+bc+ac)^2}{2(ab+bc+ac)} = \dfrac{ab+bc+ac}{2} \quad (1)$
Nháp ngoài lề nè :

Spoiler: ....

$\dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b}+ \dfrac{1}{c} = \dfrac{bc+ac+ab}{abc} = \dfrac{ab+bc+ac}{1} = ab+bc+ac$
Thế vào (1) thôi

Tiếp tục dùng BĐT Cauchy ta được :
$VT \ge \dfrac{3\sqrt[3]{ab. bc . ac}}{2} = \dfrac{3}{2}$ (ĐPCM)
Dấu $=$ xảy ra :
$\Leftrightarrow a =b =c =1$
Cậu xem thế nào