Bạn có thể tính mọi thứ theo $t = x + y + z$:
- $x + y + z + xy + xz + yz = 6 \implies xy + xz + yz = 6 - t$
- $(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz \implies x^2 + y^2 + z^2 = t^2 - 2(6 - t)$
Do $t^2 - 2(6 - t) = (t + 1)^2 - 13 \geqslant -13$ nên... hình như mình thiếu một cái gì đó đúng không?
Dường như là mình quên mất điều kiện của $t$. Mình sẽ tìm nó thông qua giả thuyết và bất đẳng thức quen thuộc:
$$
6 - t = xy + xz + yz \leqslant \dfrac{(x + y + z)^2}3 = \dfrac{t^2}3
$$
Suy ra $t \geqslant 3$ hoặc $t \leqslant -6$
- Nếu $t \geqslant 3$ thì $(t + 1)^2 - 13 \geqslant 16 - 13 = 3$ rõ rồi.
- Nếu $t \leqslant -6$ thì $(t + 1)^2 - 13 \geqslant 25 - 13 = 12$
Vậy GTNN của $x^2 + y^2 + z^2 = 3$, đạt tại $t = 3$ hay $x = y = z = 1$ nên ta có đpcm.
Nếu có thắc mắc gì bạn có thể để lại bên dưới nhé
Chúc bạn học tốt!
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
