Toán 10 Chứng minh

[Duy Quang Vũ 2007]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Điểm M gọi là điểm chia đoạn AB theo tỉ số [tex]k\neq 1[/tex] nếu [tex]\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB}[/tex]. Chứng minh với mọi điểm O ta có:
[tex]\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}-k\overrightarrow{OB}}{1-k}[/tex]

Bài 2: Cho các điểm [tex]M,N,P,O[/tex] sao cho không có điểm nào là trung điểm một trong các đoạn thẳng có đầu mút là hai trong ba điểm còn lại và O,N,P không thẳng hàng . Chứng minh rằng nếu [tex]\overrightarrow{OM}=a\overrightarrow{ON}+b\overrightarrow{OP} [/tex] thì M,N,P thẳng hàng khi và chỉ khi [tex]a+b=1[/tex].

Bài 3: Cho tam giác ABC. Các điểm M,N,P lần lượt chia các đoạn [tex]AB,BC,CA[/tex] theo tỉ số [tex]m,n,p\neq 1[/tex]. Sử dụng kết quả bài 1, bài 2, chứng minh:
a. [tex]M,N,P[/tex] thẳng hàng [tex]\Leftrightarrow mnp=1[/tex] (định lý Menelaus)
b. [tex]AN,CM,BP[/tex] đồng quy hoặc song song [tex]\Leftrightarrow mnp=-1[/tex] (định lý Ceva).

 

[iceghost]

1. gt $\iff \vec{OA} - \vec{OM} = k(\vec{OB} - \vec{OM})$
$\iff \vec{OM} = \dfrac{\vec{OA} - k \vec{OB}}{1 - k}$

2. $\vec{OM} = a \vec{ON} + b \vec{OP}$
$\iff \vec{ON} - \vec{MN} = a \vec{ON} + b \vec{ON} + b \vec{NP}$
$\iff (1 - a - b) \vec{ON} = \vec{MN} + b \vec{NP}$

Ta xét hai chiều:

• Nếu $a + b = 1$ thì $\vec{MN} + b \vec{NP} = \vec{0}$, suy ra $M, N, P$ thẳng hàng
  
  
• Nếu $M, N, P$ thẳng hàng thì $VP$ cùng phương $\vec{NP}$. Mà $O, N, P$ không thẳng hàng nên $VT$ không cùng phương với $\vec{NP}$. Vậy hai bên chỉ có thể là $\vec{0}$, tức là $a + b = 1$.

Ta được đpcm.

3. Do bài này hơi dài nên mình hướng dẫn hướng thôi nhé:

a)

1. Bạn tính $\vec{OM}$, $\vec{ON}$, $\vec{OP}$ theo $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ theo công thức câu 1
2. Sau đó bạn tính $\vec{OM}$ theo $\vec{ON}$ và $\vec{OP}$
3. Sau đó bạn dùng điều kiện câu 2 để biến đổi và suy ra $mnp = 1$

b)

1. Gọi $I$ là giao điểm của $CM$ và $BP$. Bạn dùng câu a để tính tỉ lệ $\dfrac{IB}{IP}$ chẳng hạn.
2. Từ tỉ lệ đó bạn tính $\vec{AI}$ theo $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$
3. Từ đó để $A, I, N$ thẳng hàng tức $\vec{AI}$ và $\vec{AN}$ cùng hướng thì bạn biến đổi, suy ra $mnp = -1$

Nếu có thắc mắc gì bạn có thể hỏi lại bên dưới nhé. Chúc bạn thành công