Toán 9 Chứng minh

[Duy Quang Vũ 2007]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a. Cho [tex]a,b,c,d\in \mathbb{Q}[/tex] và m,n là các số nguyên dương không chính phương. Chứng minh rắng:
[tex]a+b\sqrt{m}=c+d\sqrt{n}\Leftrightarrow a=c; b\sqrt{m}=d\sqrt{n}[/tex].
b.Cho [tex]a,b,c\in \mathbb{Q};n\in \mathbb{Z^{+}}[/tex] . Chứng minh rằng [tex]x=a\sqrt{n}+b\sqrt{n+1}[/tex] là số vô tỉ.
c.Cho [tex]a,b,c\in \mathbb{Q}[/tex] thỏa mãn [tex]a\sqrt[3]{4}+b\sqrt[3]{2}+c=0[/tex], Chứng minh:
[tex]a=b=c=0[/tex].

 

[kido2006]

a. Cho [tex]a,b,c,d\in \mathbb{Q}[/tex] và m,n là các số nguyên dương không chính phương. Chứng minh rắng:
[tex]a+b\sqrt{m}=c+d\sqrt{n}\Leftrightarrow a=c; b\sqrt{m}=d\sqrt{n}[/tex].
b.Cho [tex]a,b,c\in \mathbb{Q};n\in \mathbb{Z^{+}}[/tex] . Chứng minh rằng [tex]x=a\sqrt{n}+b\sqrt{n+1}[/tex] là số vô tỉ.
c.Cho [tex]a,b,c\in \mathbb{Q}[/tex] thỏa mãn [tex]a\sqrt[3]{4}+b\sqrt[3]{2}+c=0[/tex], Chứng minh:
[tex]a=b=c=0[/tex].

c, Một bài toán tổng quát của phần c , bạn dựa vào đây chứng minh nhé (phần của bạn chỉ cần chứng minh [tex]\sqrt[3]{2}[/tex] là số vô tỉ thui)
Tìm [tex]a,b,c \in \mathbb{Q}[/tex] sao cho [tex]a\sqrt[3]{m^2}+b\sqrt[3]{m}+c=0(1)[/tex] ([tex]\sqrt[3]{m}[/tex] là số vô tỉ , m là số hữu tỉ)

Từ [tex](1)\Rightarrow am+b\sqrt[3]{m^2}+c\sqrt[3]{m}=0(2)[/tex]
Lấy (1).b và (2).c ta được [tex]\left\{\begin{matrix} ab\sqrt[3]{m^2}+b^2\sqrt[3]{m}+bc=0\\ a^2m+ab\sqrt[3]{m^2}+ca\sqrt[3]{m}=0 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow b^2\sqrt[3]{m}-ca\sqrt[3]{m}=a^2m-bc[/tex]
+, Nếu [tex]b^2-ca\neq 0\Rightarrow \sqrt[3]{m}=\frac{a^2-bc}{b^2-ca}[/tex] (là số hữu tỉ -> trái giả thiết m là số vô tỉ)
Nên [tex]b^2-ca=0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b^2-ac=0\\ a^2-bc=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b^3-abc=0\\ a^3m-abc=0 \end{matrix}\right. \Rightarrow b^3=a^3m\Rightarrow \sqrt[3]{m}a=b[/tex]
Nếu [tex]a\neq 0\Rightarrow \sqrt[3]{m}=\frac{b}{a}[/tex] (là số hữu tỉ -> trái giả thiết m là số vô tỉ)
Nên [tex]a=0\Rightarrow b=c=0[/tex]
Vậy [tex]a=b=c=0[/tex]

 

[Hanhh Mingg]

Câu b mình nghĩ là a,b phải là số hữu tỉ khác 0 mới làm được ấy (?)
Hoặc là mình chưa nghĩ ra cách cho bài khi a,b không khác 0. Tuy nhiên, mình vẫn thử làm theo đề bài a,b khác 0 rồi bạn tham khảo nhé.

Một cách làm cụ thể cho câu c của tui :

 

[Duy Quang Vũ 2007]

Câu b mình nghĩ là a,b phải là số hữu tỉ khác 0 mới làm được ấy (?)
Hoặc là mình chưa nghĩ ra cách cho bài khi a,b không khác 0. Tuy nhiên, mình vẫn thử làm theo đề bài a,b khác 0 rồi bạn tham khảo nhé.
View attachment 175207
Một cách làm cụ thể cho câu c của tui :
View attachment 175208

Phần b đúng là mình ghi thiếu, phải khác 0 nữa. Thanks.

 

[kido2006]

a. Cho [tex]a,b,c,d\in \mathbb{Q}[/tex] và m,n là các số nguyên dương không chính phương. Chứng minh rắng:
[tex]a+b\sqrt{m}=c+d\sqrt{n}\Leftrightarrow a=c; b\sqrt{m}=d\sqrt{n}[/tex].
b.Cho [tex]a,b,c\in \mathbb{Q};n\in \mathbb{Z^{+}}[/tex] . Chứng minh rằng [tex]x=a\sqrt{n}+b\sqrt{n+1}[/tex] là số vô tỉ.
c.Cho [tex]a,b,c\in \mathbb{Q}[/tex] thỏa mãn [tex]a\sqrt[3]{4}+b\sqrt[3]{2}+c=0[/tex], Chứng minh:
[tex]a=b=c=0[/tex].

a,
Ta có [tex]a+b\sqrt{m}=c+d\sqrt{n}\Leftrightarrow a-c=d\sqrt{n}-b\sqrt{m}=k\in \mathbb{Q}[/tex]
TH1: [tex]d\sqrt{n}=b\sqrt{m}\Rightarrow a=c(đpcm)[/tex]
TH2: [tex]d\sqrt{n}\neq b\sqrt{m}\Rightarrow \frac{d^2n-b^2m}{d\sqrt{n}+b\sqrt{m}}=k\Rightarrow d\sqrt{n}+b\sqrt{m}=\frac{d^2n-b^2m}{k}\in\mathbb{Q}[/tex]
[tex]\Rightarrow d\sqrt{n}; b\sqrt{m}\in\mathbb{Q}(vì.d\sqrt{n}\neq b\sqrt{m})[/tex]
Mà [tex]\sqrt{n}; \sqrt{m}\in\mathbb{I}[/tex]
[tex]\Rightarrow b=d=0\Rightarrow d\sqrt{n}= b\sqrt{m}=0(vô.lí)[/tex]