Toán 8 Chứng minh

[letoanthangjk@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b thuộc Z.
Chứng minh a^7b^3-a^3b^7 chia hết cho 30.

 

[_Error404_]

Ta có: [tex]a^{7}b^{3}-a^{3}b^{7}=a^{3}b^{3}(a^{4}-b^{4})=a^{3}b^{3}(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})[/tex]
1. C/m chia hết cho 2
+) Nếu một trong 2 số a,b có ít nhất 1 số chia hết cho 2 thì [tex]a^{3}b^{3}(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})[/tex] chia hết cho 2
+) Nếu cả hai số a,b đều chia 2 dư 1 thì a+b chia hết cho 2
Vậy [tex]a^{3}b^{3}(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})[/tex] luôn chia hết cho 3 với a,b thuộc Z
2. C/m chia hết cho 3
+) Nếu một trong 2 số a,b có ít nhất 1 số chia hết cho 3 thì [tex]a^{3}b^{3}(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})[/tex] chia hết cho 3
+) Nếu trong 2 số a.b không có số nào chia hết cho 3 thì ta có 2 TH:
Khi a,b cùng chia 3 dư 1 hoặc cùng chia 3 dư 2 thì a-b chia hết cho 3
Khi a,b chia cho khác số dư thì a+b chia hết cho 3
Vậy [tex]a^{3}b^{3}(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})[/tex] luôn chia hết cho 3 với a,b thuộc Z
3. C/m chia hết cho 5
Tương tự như các TH trước ta c/m được [tex]a^{3}b^{3}(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})[/tex] chia hết cho 5 khi a,b có ít nhất 1 số chia hết cho 5, cùng số dư khi chia cho 5 hoặc có số dư cộng lại chia hết cho 5
Với các TH còn lại số dư của a,b cho 5 có thể là 1 và 2 ; 1 và 3 ; 2 và 1 ; 2 và 4 ; 3 và 1 ; 3 và 4 ; 4 và 2 ; 4 và 3
Thử thay vào a^2+b^2 thấy luôn chia hết cho 5
Vậy [tex]a^{3}b^{3}(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})[/tex] luôn chia hết cho 5 với a,b thuộc Z
KL: [tex]a^{3}b^{3}(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})[/tex] chia hết cho 2.3.5 hay [tex]a^{7}b^{3}-a^{3}b^{7}[/tex] chia hết cho 30

 

[kido2006]

Cho a,b thuộc Z.
Chứng minh a^7b^3-a^3b^7 chia hết cho 30.

[tex]a^7b^3-a^3b^7=(a^7b^3-a^3b^3)-(a^3b^7-a^3b^3)=a^3b^3(a^4-1)-a^3b^3(b^4-1)[/tex]
Ta có [tex]a^3b^3(a^4-1)=a^2b^3.a.(a-1)(a+1).(a^2+1)=a^2b^3.a.(a-1)(a+1).(a-2)(a+2)+5a^2b^3.a.(a-1)(a+1)[/tex]
Vì [tex]a.(a-1)(a+1).(a-2)(a+2)[/tex] là tích 5 số liên tiếp và [tex]a.(a-1)(a+1)[/tex] là tích 3 số liên tiếp
[tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a.(a-1)(a+1).(a-2)(a+2)\vdots 2;3;5\\ a.(a-1)(a+1)\vdots 2;3 \end{matrix}\right.[/tex]
Mà [tex]U(2,3,5)=1[/tex]
[tex]\Rightarrow a^3b^3(a^4-1)\vdots 30[/tex]
cmtt ta có [tex]a^3b^3(b^4-1)\vdots 30[/tex]

[tex]\Rightarrow a^7b^3-a^3b^7\vdots 30(đpcm)[/tex]