[tex]a\sqrt{1+b}+b\sqrt{1+a}\leqslant \sqrt{2+\sqrt{2}} \Leftrightarrow a^2+a^2b+b^2+b^2a+ab\sqrt{ab+a+b+1}\leq 2+\sqrt{2}\Leftrightarrow 1+ab(a+b)+ab\sqrt{ab+a+b+1} \leq \sqrt{2}[/tex]
Ta có: [tex]ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}=\frac{1}{2},a+b\leq \sqrt{2(a^2+b^2)}=\sqrt{2}\Rightarrow 1+ab(a+b)+ab\sqrt{ab+a+b+1} \leq 1+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{2}+1}\leq \sqrt{2}[/tex]