Toán 9 Chứng minh

[anht7541@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Nếu [tex]a^{2}+b^{2}=1[/tex]
CMR [tex]a\sqrt{1+b}+b\sqrt{1+a}\leqslant \sqrt{2+\sqrt{2}}[/tex]

 

[7 1 2 5]

[tex]a\sqrt{1+b}+b\sqrt{1+a}\leqslant \sqrt{2+\sqrt{2}} \Leftrightarrow a^2+a^2b+b^2+b^2a+ab\sqrt{ab+a+b+1}\leq 2+\sqrt{2}\Leftrightarrow 1+ab(a+b)+ab\sqrt{ab+a+b+1} \leq \sqrt{2}[/tex]
Ta có: [tex]ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}=\frac{1}{2},a+b\leq \sqrt{2(a^2+b^2)}=\sqrt{2}\Rightarrow 1+ab(a+b)+ab\sqrt{ab+a+b+1} \leq 1+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{2}+1}\leq \sqrt{2}[/tex]

 

[02-07-2019.]

[tex]a\sqrt{1+b}+b\sqrt{1+a}\leqslant \sqrt{2+\sqrt{2}} \Leftrightarrow a^2+a^2b+b^2+b^2a+ab\sqrt{ab+a+b+1}\leq 2+\sqrt{2}\Leftrightarrow 1+ab(a+b)+ab\sqrt{ab+a+b+1} \leq \sqrt{2}[/tex]
Ta có: [tex]ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}=\frac{1}{2},a+b\leq \sqrt{2(a^2+b^2)}=\sqrt{2}\Rightarrow 1+ab(a+b)+ab\sqrt{ab+a+b+1} \leq 1+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{2}+1}\leq \sqrt{2}[/tex]

Em thấy sao sao á anh.

• Dòng 1 sau dấu tương đương thì phải là : [tex]2ab\sqrt{ab+a+b+1}[/tex]
• Ở dấu tương đương thứ 2, vế phải, tại sao lại bỏ được số 2 anh nhỉ?

 

[Duy Quang Vũ 2007]

Mình có một cách khác không biết đúng không
Áp dụng Bunyakovsky:
[tex]a\sqrt{1+b}+b\sqrt{1+a}\leq \sqrt{(a^{2}+b^{2})[(\sqrt{1+b})^{2}+(\sqrt{1+a})^{2}]}=\sqrt{2+a+b}[/tex]
[tex]\sqrt{2+a+b}\leq \sqrt{2+\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}}=\sqrt{2+\sqrt{2}}\Rightarrow[/tex] đpcm