Toán 9 Chứng minh

[lòng non ngon hơn lòng gà]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn a+b+ab=3
Chứng minh: [tex]\frac{a}{b+3}+\frac{b}{a+3}+\frac{ab}{a+b}\leq 1[/tex]

 

[lengoctutb]

Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn a+b+ab=3
Chứng minh: [tex]\frac{a}{b+3}+\frac{b}{a+3}+\frac{ab}{a+b}\leq 1[/tex]

Đặt $t=ab>0$
Ta có: $a+b+ab=3 \Leftrightarrow a+b=3-ab=3-t \Rightarrow t<3$
Lại có: $t=ab=a(3-t-a)=-a^{2}-at+3a \Leftrightarrow a^{2}+(t-3)a+t=0$ có $\Delta=(t-3)^{2}-4t \geq 0 \Leftrightarrow t \leq 1$
Có: $A=\frac{a}{b+3}+\frac{b}{a+3}+\frac{ab}{a+b}=\frac{a(a+3)+b(b+3)}{b+3} +\frac{t}{3-t}=\frac{a^{2}+b^{2}+3(a+b)}{ab+3(a+b)+9} +\frac{t}{3-t}=\frac{(a+b)^{2}-2ab+3(3-t)}{t+3(3-t)+9} +\frac{t}{3-t}=\frac{(3-t)^{2}-2t+9-3t}{t+9-3t+9} +\frac{t}{3-t}$
$A=\frac{t^{2}+18-11t}{18-2t} +\frac{t}{3-t}=f(t)$
$f'(t)=\frac{-t^2+6x-3}{2(3-t)^{2}}=0 \Leftrightarrow t=3-\sqrt{6}$
Kẻ bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên ta có: $f(t) \leq 1$ hay $A \leq 1$ $($đpcm$)$