Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Một đường thẳng đi qua trực tâm H của tam giác ABC cắt các đường thẳng AB,AC tại P và Q. chứng minh rằng nếu H là trung điểm PQ thì PQ vuông góc với MH, trong đó M là trung điểm của BC
giờ chứng minh ngược là xong...
gọi M là trung điểm của BC
đường thẳng qua H và vuông góc với HM cắt AB;AC lần lượt tại P;Q
giờ chứng minh H là trung điểm của PQ thì bài toán được giải quyết
thật vậy:
từ B hạ BB' vuông góc với PQ
từ C hạ CC' vuông góc với PQ
suy ra tứ giác BB'C'C là hình thang
mà có: M là trung điểm của BC
và MH// BB'//CC'
=> H là trung điểm của B'C'
gọi BE và CF là 2 đường cao của tam giác ABC
dễ chứng minh góc PHB=góc EHQ= góc C'CQ
và góc FBH= góc ECH
suy ra: góc PBH+ góc PHB= góc C'CQ+ góc HCQ
hay góc B'PB= góc C'CH
suy ra tam giác B'PB đồng dạng tam giác C'CH
=> B'P/ B'B= C'C/C'H
mà có: góc B'HB= góc C'CQ (cmt)
=> tam giác B'HB đồng dạng tam giác C'CQ
=> C'C/B'H= C'Q/B'B
mà có: C'H=B'H (H là trung điểm của B'C')
=> B'P/ B'B= C'Q/B'B
=> B'P= C'Q
=> B'H-B'P=C'H-C'Q
=> PH=HQ
=> đpcm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
