Toán 9 Chứng minh

[Tiểu Bạch Lang]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực x1,x2,....,xn thuộc tập hợp từ 0 đến 1.
CMR :[tex](1+x_{1}+x_{2}+...+x_{n})^2\geq 4(x_{1}^{2}+x_{2}^2+...+x_{n}^2)[/tex]

 

[7 1 2 5]

Không mất tính tổng quát giả sử [tex]0 \leq x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_n \leq 1[/tex]
Ta có: [tex]VT-VP=1+2(x_1+x_2+...+x_n)+2(x_1x_2+x_1x_3+...+x_1x_n+x_2x_3+...+x_{n-1}x_n)-3(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)[/tex]
Vì [tex]0 \leq x_i \leq 1 \Rightarrow x_i \geq x_i^2 \Rightarrow 2(x_1+x_2+...+x_n) \geq 2(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)[/tex]
Ta chỉ cần chứng minh [tex]1+2(x_1x_2+x_1x_3+...+x_1x_n+x_2x_3+...+x_{n-1}x_n)-(x_1^2+x_2^2+...+x_n)^2 \geq 0[/tex]
Mà [TEX]x_1+x_2+...+x_n \geq x_1^2+x_2^2+...+x_n^2[/TEX] nên ta chỉ cần chứng minh [tex]1+2(x_1x_2+x_1x_3+...+x_1x_n+x_2x_3+...+x_{n-1}x_n)-(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2) \geq 0 \Leftrightarrow (1-x_n^2)+x_1(x_2-x_1)+x_2(x_3-x_2)+...+x_{n-1}(x_n-x_{n-1})+x_1x_3+x_1x_4+... \geq 0[/tex](luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra tại [tex]x_1=x_2=...=x_{n-1}=0,x_n=1[/tex]