Đầu tiên ta chứng minh bổ đề [tex]a.\overrightarrow{IA}+b.\overrightarrow{IB}+c.\overrightarrow{IC}=0[/tex]
Thật vây, vẽ hình bình hành BDIE sao cho D, E thuộc CI, AI. M,N lần lượt là giao điểm của CI với AB, AI với BC. Gọi K là trung điểm AB.
Ta có: [tex]\frac{IE}{IA}=\frac{MB}{MA}=\frac{BC}{AC},\frac{ID}{IC}=\frac{BN}{NC}=\frac{AB}{AC}[/tex]
Vì [tex]\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{IE}=-\frac{BC}{AC}\overrightarrow{IC}-\frac{AB}{AC}\overrightarrow{IA}=-\frac{a}{b}\overrightarrow{IA}-\frac{c}{b}\overrightarrow{IC}\Rightarrow b.\overrightarrow{IB}=-a.\overrightarrow{IA}-c.\overrightarrow{IC}\Rightarrow a.\overrightarrow{IA}+b.\overrightarrow{IB}+c.\overrightarrow{IC}=0[/tex]
Ta thấy: [tex]a.\overrightarrow{IA}+b.\overrightarrow{IB}+c.\overrightarrow{IC}=0 \Rightarrow a.\overrightarrow{IA}+b.\overrightarrow{IB}-c.\overrightarrow{CI}=0\Rightarrow \overrightarrow{CI}=\frac{a}{c}\overrightarrow{IA}+\frac{b}{c}\overrightarrow{IB}=\frac{a}{c}(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CI})+\frac{b}{c}(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CI})=\frac{a}{c}\overrightarrow{CA}+\frac{b}{c}\overrightarrow{CB}-\frac{a+b}{c}\overrightarrow{CI}\Rightarrow \frac{a+b+c}{c}\overrightarrow{CI}=\frac{a}{c}\overrightarrow{CA}+\frac{b}{c}\overrightarrow{CB}\Rightarrow \overrightarrow{CI}=\frac{1}{a+b+c}(a.\overrightarrow{CA}+b.\overrightarrow{CB})[/tex]
Mặt khác, [tex]\overrightarrow{GI}=\overrightarrow{CI}-\overrightarrow{CG},[/tex] [tex]\overrightarrow{CG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CK}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})[/tex]
[TEX]\Rightarrow \overrightarrow{GI}=\frac{1}{a+b+c}(a.\overrightarrow{CA}+b.\overrightarrow{CB})-\frac{2}{3}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})[/TEX]
Vì [tex]IG \perp IC \Rightarrow \overrightarrow{GI}.\overrightarrow{CI}=0\Rightarrow ...[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
