Toán 8 Chứng minh

[Dương_C_K_F_H_J]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z là các số khác 0. Chứng minh rằng:
Nếu [tex]x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0[/tex] thì [tex]\frac{x^6+y^6+z^6}{x^3+y^3+z^3}=xyz[/tex]

 

[7 1 2 5]

Đầu tiên, ta cần chứng minh bổ đề: Nếu [tex]a+b+c=0[/tex] thì [tex]a^3+b^3+c^3=3abc[/tex]
Thật vậy, [tex]a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc[/tex]
Quay lại bài toán:
Vì [tex]x+y+z=0\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\Rightarrow (x^3+y^3+z^3)^2=x^6+y^6+z^6+2(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)=9x^2y^2z^2\Rightarrow x^6+y^6+z^6=9x^2y^2z^2-2(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)[/tex]
Lại có: [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{xy+yz+zx}{xyz}=0\Rightarrow xy+yz+zx=0\Rightarrow x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3=3xy.yz.zx=3x^2y^2z^2\Rightarrow x^6+y^6+z^6=9x^2y^2z^2-2.3x^2y^2z^2=3x^2y^2z^2\Rightarrow \frac{x^6+y^6+z^6}{x^3+y^3+z^3}=\frac{3x^2y^2z^2}{3xyz}=xyz[/tex]