Toán 9 Chứng minh

[Vân Ngọc 1406]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3<n là số tự nhiên;a,b là số tự nhiên 0<b<10
Chứng minh nếu [TEX]2^{n}=10a+b[/TEX] thì ab chia hết cho 6

 

[7 1 2 5]

Dễ thấy a,b phải tồn tại ít nhất 1 số chẵn.
Lại có:[tex]2^n[/tex] tận cùng là 2,4,6,8 nên [tex]b\in \left \{ 2;4;6;8 \right \}[/tex]
+ Với b = 6 ta có đpcm.
+ Với b = 2 hoặc 8. Vì [tex]2^n[/tex] chia 5 dư 2 hoặc 3 nên không là số chính phương, suy ra n lẻ.
[tex]\Rightarrow 2^n=2^{2k+1}=4^k.2\equiv 1.2=2(mod3)[/tex]
Mà b chia 3 dư 2 nên 10a chia hết cho 3 hay a chia hết cho 3.
+ Với b = 4.
Xét n lẻ. Ta có:[tex]2^n=2^{2k+1}=4^k.2\equiv (-1)^k.2\not\equiv 4(mod5)(loại)[/tex]
Vậy n chẵn. [tex]\Rightarrow 2^n=2^{2k}=4^k\equiv 1(mod3)\Rightarrow 10a+4\equiv 1(mod3)\Rightarrow a\vdots 3[/tex]

 

[Vân Ngọc 1406]

Dễ thấy a,b phải tồn tại ít nhất 1 số chẵn.
Lại có:[tex]2^n[/tex] tận cùng là 2,4,6,8 nên [tex]b\in \left \{ 2;4;6;8 \right \}[/tex]
+ Với b = 6 ta có đpcm.
+ Với b = 2 hoặc 8. Vì [tex]2^n[/tex] chia 5 dư 2 hoặc 3 nên không là số chính phương, suy ra n lẻ.
[tex]\Rightarrow 2^n=2^{2k+1}=4^k.2\equiv 1.2=2(mod3)[/tex]
Mà b chia 3 dư 2 nên 10a chia hết cho 3 hay a chia hết cho 3.
+ Với b = 4.
Xét n lẻ. Ta có:[tex]2^n=2^{2k+1}=4^k.2\equiv (-1)^k.2\not\equiv 4(mod5)(loại)[/tex]
Vậy n chẵn. [tex]\Rightarrow 2^n=2^{2k}=4^k\equiv 1(mod3)\Rightarrow 10a+4\equiv 1(mod3)\Rightarrow a\vdots 3[/tex]

Mình nghĩ từ đề bài suy ra b chia hết cho 2 mà 0<b<10 nên [tex]b\in \left \{ 2;4;6;8 \right \}[/tex] sẽ ngắn gọn hơn nhỉ.....