Pt đã cho
<=> [ x² + ax + b=0 (1) và [ x²+cx+d=0(2)
Nếu ra được ít nhất 1 trong 2 pt trên có nghiệm thì sẽ có ngay đpcm.
Nếu một trong 2 số b hoặc d, hoặc cả 2 số d,b đều ≤ 0 thì ta có ít nhất 1 trong hai delta >0:
▲1 = a² - 4b ≥ 0 hoặc ▲2 = c² - 4d ≥ 0 Xét trường hợp cả 2 số b và d đều > 0.
Khi đó từ giả thiết suy ra: 2(b + d) ≤ ac hay - 4(b + d) ≥ -2ac
<=> a² + c² - 4(b + d) ≥ a² + c² - 2ca = (c - a)² (*)
Ta xét:
▲1 + ▲2 = a² + c² - 4(b + d) ≥ (c - a)² (do (*))
=> ▲1 + ▲2 ≥ 0 (vì (c - a)² ≥ 0)
=> tồn tại ít nhất 1 trong 2 ▲ ≥ 0
=> ít nhất 1 pt có nº => đpcm •