Toán 9 Chứng minh

[amsterdamIMO]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn: [tex]b + d \neq 0[/tex] và [tex]\frac{ac}{b + d} \geq 2.[/tex] Chứng minh rằng phương trình [tex]\left ( x^{2} + ax + b \right )\left ( x^{2} + cx + d \right ) = 0[/tex] (x là ẩn) luôn có nghiệm.

 

[Ocmaxcute]

Ta có: [tex]ac \geq 2(b+d)[/tex]
Mà [tex]ac \leq \frac{a^2 + c^2}{2}[/tex]
=> [tex]a^2 + c^2 \geq 4(b+d)[/tex]
=> [tex](a^2 - 4b) + (c^2 -4d) \geq 0[/tex]
Vậy ít nhất một trong 2 số hạng trên phải lớn hơn hoặc bằng 0
Vậy trong PT ở đề bài, sẽ có 1 nhân tử có delta [tex]\geq[/tex] 0 => PT có nghiệm

 

[Đồng Thị Thùy Trang]

Pt đã cho
<=> [ x² + ax + b=0 (1) và [ x²+cx+d=0(2)
Nếu ra được ít nhất 1 trong 2 pt trên có nghiệm thì sẽ có ngay đpcm.
Nếu một trong 2 số b hoặc d, hoặc cả 2 số d,b đều ≤ 0 thì ta có ít nhất 1 trong hai delta >0:
▲1 = a² - 4b ≥ 0 hoặc ▲2 = c² - 4d ≥ 0 Xét trường hợp cả 2 số b và d đều > 0.
Khi đó từ giả thiết suy ra: 2(b + d) ≤ ac hay - 4(b + d) ≥ -2ac
<=> a² + c² - 4(b + d) ≥ a² + c² - 2ca = (c - a)² (*)
Ta xét:
▲1 + ▲2 = a² + c² - 4(b + d) ≥ (c - a)² (do (*))
=> ▲1 + ▲2 ≥ 0 (vì (c - a)² ≥ 0)
=> tồn tại ít nhất 1 trong 2 ▲ ≥ 0
=> ít nhất 1 pt có nº => đpcm •