Toán 7 Chứng minh #?

[Minh Tín]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng khi cộng 1 số nguyên dương với nghịch đảo của số đó thì số đó luôn lớn hơn hoặc bằng 2?
Nói cách khác, chứng minh [tex]x+\frac{1}{x}\geq 2[/tex] với [TEX]x[/TEX] là số nguyên dương?

 

[lengoctutb]

Chứng minh rằng khi cộng 1 số nguyên dương với nghịch đảo của số đó thì số đó luôn lớn hơn hoặc bằng 2?
Nói cách khác, chứng minh [tex]x+\frac{1}{x}\geq 2[/tex] với [TEX]x[/TEX] là số nguyên dương?

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy$$,$ ta có $:$ $x+\frac{1}{x}\geq 2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2\sqrt{1}=2$ $($đpcm$)$
ĐTXR $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{x} \\ x>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=1$

 

[Aki-chan]

Chứng minh rằng khi cộng 1 số nguyên dương với nghịch đảo của số đó thì số đó luôn lớn hơn hoặc bằng 2?
Nói cách khác, chứng minh [tex]x+\frac{1}{x}\geq 2[/tex] với [TEX]x[/TEX] là số nguyên dương?

[tex]x+\frac{1}{x}\geq 2\Rightarrow \frac{x^{2}+1}{x}\geq 2\Leftrightarrow \frac{x^{2}+1}{x}-2\geq 0\Leftrightarrow \frac{x^{2}-2x+1}{x}\geq 0\Leftrightarrow \frac{(x-1)^{2}}{x}\geq 0[/tex]
( đúng vì x>0 và [tex](x-1)^{2}\geq 0[/tex] với mọi x)

 

[NikolaTesla]

Chứng minh rằng khi cộng 1 số nguyên dương với nghịch đảo của số đó thì số đó luôn lớn hơn hoặc bằng 2?
Nói cách khác, chứng minh [tex]x+\frac{1}{x}\geq 2[/tex] với [TEX]x[/TEX] là số nguyên dương?

[tex]x+\frac{1}{x}=\frac{x^{2}+1}{x}-2+2=\frac{x^{2}-2x+1}{x}+2[/tex] =(x-1)^2/x+2>=2
.............

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Chứng minh rằng khi cộng 1 số nguyên dương với nghịch đảo của số đó thì số đó luôn lớn hơn hoặc bằng 2?
Nói cách khác, chứng minh [tex]x+\frac{1}{x}\geq 2[/tex] với [TEX]x[/TEX] là số nguyên dương?

bạn học cauchy chưa nhỉ
Nếu chưa thì có thể biến đổi tương đương
[tex]x+\frac{1}{x}\geq 2\\\Leftrightarrow \frac{x^2+1}{x}\geq 2\Leftrightarrow x^2+1\geq 2x\\\Leftrightarrow x^2+1-2x\geq 0\\\Leftrightarrow (x-1)^2\geq 0[/tex]
cái này luôn đúng
Vậy ta có đpcm
Dấu = xảy ra khi [tex]x-1=0\Leftrightarrow x=1[/tex]