Toán 9 Chứng minh ...........

[Annie Nguyen]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

 

[Hiền Nhi]

Bt2: Ta có: [tex]a^{2}+b^{2}\geq 2ab[/tex]; [tex]b^{2}+1\geq 2b[/tex]; [tex]a^{2}+1\geq 2a[/tex] (BĐT phụ)
Cộng vế theo vế: [tex]2a^{2}+2b^{2}+2a\geq 2(ab+a+b)[/tex] [tex]\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+1\geq ab+a+b[/tex](đpcm)
BT1 :
Sử dụng biến đổi tương đương:
[tex]\frac{a^{3}+b^{3}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{3}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{a^{3}+b^{3}}{2}\geq \frac{a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)}{8}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{4a^{3}+4b^{3}-a^{3}-b^{3}-3ab(a+b)}{8}\geq 0[/tex]

 

[Cao Việt Hoàng]

Bài 2:
Ta có:[tex]2(a^{2}+b^{2}+1)=(a^{2}+b^{2})+(b^{2}+1)+(a^{2}+1)\geq 2ab+2b+2a= 2(ab+a+b)[/tex]
[tex]\Rightarrow a^{2}+b^{2}+1\geq ab+a+b[/tex] (dấu "=" xảy ra khi a=b=1)

 

[pinkmath]

 

[Cao Việt Hoàng]

bài 1:
ta xét hiệu [tex]H=\frac{a^{3}+b^{3}}{2}-(\frac{a+b}{2})^{3}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow H=\frac{4a^{3}+4b^{3}-(a+b)^{3}}{8}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow H=\frac{4a^{3}+4b^{3}-[a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)]}{4}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow H=\frac{3a^{3}+3b^{3}-3ab(a+b)}{4}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow H=\frac{3(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})-3ab(a+b)}{4}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow H=\frac{3(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}-ab)}{4}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow H=\frac{3(a+b)(a^{2}-2ab+b^{2})}{4}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow H=\frac{3(a+b)(a-b)^{2}}{4}[/tex]
Ta có:[tex]a+b> 0[/tex] và[tex](a-b)^{2}\geq 0[/tex] [tex]\Rightarrow H=\frac{3(a+b)(a-b)^{2}}{4}\geq 0[/tex]
[tex]H=\frac{a^{3}+b^{3}}{2}-(\frac{a+b}{2})^{3}\geq 0[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{a^{3}+b^{3}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{3}[/tex] (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b)