Xét các TH:
+ TH1: Nếu trong ba số [tex]\sqrt{x}[/tex], [tex]\sqrt{y}[/tex], [tex]\sqrt{z}[/tex] có 1 số hữu tỉ.
Vì ba số có vai trò như nhau nên ta giả sử [tex]\sqrt{x}[/tex] là số hữu tỉ => [tex]\sqrt{y}+\sqrt{z}[/tex] là số hữu tỉ.
Đặt [tex]y = \frac{a}{b}; z = \frac{c}{d}[/tex] đều hữu tỉ (a, b, c, d thuộc N*)
Vì [tex]\sqrt{y}+\sqrt{z}[/tex] là số hữu tỉ
=> [tex](\sqrt{y} + \sqrt{z})^{2}[/tex] cũng là số hữu tỉ
=> [tex]\sqrt{zy}[/tex] là số hữu tỉ
=> [tex]\sqrt{\frac{ac}{bd}}[/tex] là số hữu tỉ
=> Đặt [tex]\sqrt{\frac{ac}{bd}}[/tex] = [tex]\sqrt{\frac{p}{q}}^{2}[/tex]
=> [tex]\sqrt{\frac{a}{b}} =\frac{p}{q}.\sqrt{\frac{d}{c}}[/tex] (p, q thuộc N*)
=> [tex]\sqrt{y} + \sqrt{z} = \sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{c}{d}} = \frac{p}{q}.\sqrt{\frac{c}{d}} + \sqrt{\frac{c}{d}} = \frac{pd + qc}{\sqrt{cd}}[/tex] là số hữu tỉ => [tex]\sqrt{cd}[/tex] là số hữu tỉ
=> [tex]\sqrt{z} = \sqrt{\frac{c}{d}}[/tex] là số hữu tỉ
=> [tex]\sqrt{y}[/tex] cung hữu tỉ
=> đpcm.
+ TH2: Nếu cả ba số [tex]\sqrt{x}[/tex], [tex]\sqrt{y}[/tex], [tex]\sqrt{z}[/tex] đều là số vô tỉ
Đặt √[tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\frac{p}{q}[/tex] (p, q thuộc N*)
=> [tex]x + y + 2\sqrt{xy }= (\frac{p}{q})^{2} - \frac{2p}{q}\sqrt{z} + z[/tex]
=> [tex]\sqrt{xy} +\frac{p}{q}\sqrt{z}[/tex] là số hữu tỉ
Do xy hữu tỉ và[tex](\frac{p}{q})^{2} z[/tex] hữu tỉ nên có thể đặt [tex]xy = \frac{a}{b} , (\frac{p}{q}^{2})z =\frac{c}{d}[/tex] thì ta có [tex]\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{c}{d}}[/tex] hữu tỉ.
Đến đây lí luận như trường hợp trên thì suy ra [tex]\sqrt{xy}[/tex] và [tex]\frac{p}{q}\sqrt{z}[/tex] hữu tỉ
=> [tex]\sqrt{z}[/tex] hữu tỉ
=> Mâu thuẫn với giả thiết
=> Điều giả sử là sai.
Vậy [tex]\sqrt{x}[/tex], [tex]\sqrt{y}[/tex], [tex]\sqrt{z}[/tex] đều là số hữu tỉ.
Nguồn: mạng.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
