Do p nguyên tố và p > 7 nên p lẻ; áp dụng hai hằng đẳng thức:
aⁿ - bⁿ = (a-b)[a^(n-1) + a^(n-2)b + ... + b^(n-1)] = (a-b).k
aⁿ + bⁿ = (a+b)[a^(n-1) - a^(n-2)b +...+ b^(n-1)] = (a+b).q (với n lẻ)
3^p - 1 = (3-1)k = 2k chia hết cho 2 ; 2^p chia hết cho 2 (hiển nhiên)
=> A = 3^p - 1 - 2^p = 2k - 2^p chia hết cho 2
3^p chia hết cho 3 (hiển nhiên)
2^p+1 = (2+1).k = 3k chia hết cho 3 (vì p lẻ)
=> A = 3^p - 3k chia hết cho 3
do p nguyên tố > 7 nên có dạng p = 6n+1 hoặc p = 6n+5 (n nguyên dương)
Nếu p = 6n+1
3^p = 3^(6n+1) = 3.3^6n = 3.729ⁿ - 3 + 3 = 3(729ⁿ - 1) + 3 =
= 3.728.k + 3 = 3.7.104k + 3
=> 3^p - 3 chia hết cho 7
2^p = 2^(6n+1) = 2.64ⁿ = 2(64ⁿ -1) + 2 = 2.63.k + 2
=> 2^p - 2 chia hết cho 7
Vậy A = (3^p - 3) - (2^p - 2) chia hết cho 7
Nếu p = 6n + 5
3^p = 3^(6n+5) = 3⁵.3^6n = 3⁵(729ⁿ - 1) + 3⁵ = 3⁵.728k + 243
= 7(3⁵.104k + 34) + 5
=> 3^p - 5 chia hết cho 7
2^p = 2^(6n+5) = 32.64ⁿ = 32(64ⁿ -1) + 32 = 32.63k + 28 + 4
= 7(32.9k + 4) + 4
=> 2^p - 4 chia hết cho 7
Vậy A = (3^p - 5) - (2^p - 4) chia hết cho 7
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
