1. $8351^{634} + 8241^{142}$ chia hết cho $26$.
2. $A = n^3 + 6n^2 - 19n - 24$ chia hết cho $6$ $(n\in \mathbb{Z})$
3. $B = (10^n - 9n - 1)$ chia hết cho $27$ với $n\in \mathbb{N^*}$.
1. $8351^{634} + 8241^{142} = (8351^2)^{317} + 8241^{142}$
Ta có:
$8351 \equiv 5 \ (mod \ 26) \Rightarrow 8351^2 \equiv 25 \equiv -1 \ (mod \ 26) \Rightarrow (8351^2)^{317} \equiv -1 \ (mod \ 26)$
$8241 \equiv -1 \ (mod \ 26) \Rightarrow 8241^{142} \equiv 1 \ (mod \ 26)$
$\Rightarrow (8351^2)^{317} + 8241^{142} \equiv -1 + 1 = 0 \ (mod \ 26)$ => đpcm.
2. Ta có: $A = n(n - 1)(n + 1) + 6(n-4)(n+1)$
$n(n - 1)(n + 1)$ là tích của $3$ số nguyên liên tiếp nên chia hết cho $6$, mà $6(n-4)(n+1)$ chia hết cho $6$ => đpcm.
3. Với $n = 1$ thì $B = 10 -9 - 1 = 0$ chia hết cho $27$.
Giả sử đúng với mọi $n = k > 1$ thì $B = 10^k - 9k - 1$ chia hết cho $27$
Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng với $n = k + 1$
Thật vậy ta có: $10^{k + 1} - 9(k + 1) - 1 = 10(10^k - 9k - 1) + 81k$ chia hết cho $27$.
=> đpcm.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
