Toán Chứng minh

[Gió Vô Tâm]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số dương không âm thỏa mãn [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}=3[/tex]
Chứng minh : [tex]\frac{a}{a^{2}+2b+3}+\frac{b}{b^{2}+2c+3}+\frac{c}{c^{2}+2a+3}\leq \frac{1}{2}[/tex]

 

[Gió Vô Tâm]

Mọi người giúp mk vs ạ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

[Ann Lee]

Cho a,b,c là các số dương không âm thỏa mãn [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}=3[/tex]
Chứng minh : [tex]\frac{a}{a^{2}+2b+3}+\frac{b}{b^{2}+2c+3}+\frac{c}{c^{2}+2a+3}\leq \frac{1}{2}[/tex]

Đặt [tex]A=\frac{a}{a^{2}+2b+3}+\frac{b}{b^{2}+2c+3}+\frac{c}{c^{2}+2a+3}[/tex]
Có: [tex]a^{2}+1\geq 2a\Rightarrow \frac{a}{a^{2}+2b+3}\leq \frac{a}{2a+2b+2}=\frac{1}{2}.\frac{a}{a+b+1}[/tex]
Tương tự:....
[tex]\Rightarrow A\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1})[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{3}{2}-A\geq (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}.\frac{a}{a+b+1})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}.\frac{b}{b+c+1})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}.\frac{c}{c+a+1})=\frac{1}{2}(\frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1})[/tex]
Đặt B=[tex]\frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}=\frac{(b+1)^{2}}{(b+1)(a+b+1)}+\frac{(c+1)^{2}}{(c+1)(b+c+1)}+\frac{(a+1)^{2}}{(a+1)(c+a+1)}\geq \frac{(a+b+c+3)^{2}}{(b+1)(a+b+1)+(c+1)(b+c+1)+(a+1)(c+a+1)}[/tex] (BĐT Svacxo)
Xét $(b+1)(a+b+1)+(c+1)(b+c+1)(a+1)(c+a+1)$
$=a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca+3(a+b+c)+3$
$=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca+6a+6b+6c+9)$
$=\frac{1}{2}(a+b+c+3)^{2}$
[tex]\Rightarrow B\geq \frac{(a+b+c+3)^{2}}{\frac{1}{2}.(a+b+c+3)^{2}}=2\Rightarrow \frac{3}{2}-A\geq \frac{1}{2}.B\geq \frac{1}{2}.2=1\Rightarrow A\leq \frac{1}{2}[/tex] (đpcm)

 

[tôi là ai?]

[tex]a^{2}+2b+3=a^{2}+2b+1+2\geq 2(a+b+1)[/tex]
=>[tex]\frac{a}{a^{2}+2b+3}\leq \frac{a}{2(a+b+1)}[/tex]
=>[tex]VT\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{b+c+1}+..)[/tex]
cm [tex]\frac{a}{b+c+1}+....\leq 1[/tex] là xg

 

[Ann Lee]

[tex]a^{2}+2b+3=a^{2}+2b+1+2\geq 2(a+b+1)[/tex]
=>[tex]\frac{a}{a^{2}+2b+3}\leq \frac{a}{2(a+b+1)}[/tex]
=>[tex]VT\leq \frac{1}{2}(\sum \frac{a}{b+c+1})[/tex]
cm [tex]\sum \frac{a}{b+c+1}\leq 1[/tex] là xg

Chị chứng minh [tex]\sum \frac{a}{b+c+1}\leq 1[/tex] với [tex]\sum a^{2}=3[/tex] và a,b,c>0 cho em xem với. Hóng ^^

 

[tôi là ai?]

Chị chứng minh [tex]\sum \frac{a}{b+c+1}\leq 1[/tex] với [tex]\sum a^{2}=3[/tex] và a,b,c>0 cho em xem với. Hóng ^^

cái đáy là +... anh gõ thằng tổng sửa rồi
sửa nhanh vj mà vẫn có đứa bắt lỗi v

 

[Ann Lee]

cái đáy là +... anh gõ thằng tổng sửa rồi
sửa nhanh vj mà vẫn có đứa bắt lỗi v

Để như ban đầu vẫn đúng nhé, em hiểu [tex]\sum[/tex] nghĩa là gì mà ^^
Chỉ là em không biết chứng minh [tex]\sum \frac{a}{b+c+1}\leq 1[/tex] với [tex]\sum a^{2}=3[/tex] và a,b,c>0 như thế nào thoi.
Thấy ghi như vậy

cm ab+c+1+....≤1ab+c+1+....≤1\frac{a}{b+c+1}+....\leq 1 là xg

nên em nghĩ là chị biết cách chứng minh :3
Cho em xin cách chứng minh với.
Em chỉ biết chứng minh [tex]\sum \frac{a}{a+b+1}\leq 1[/tex] với abc=1 và a,b,c>0 thoi

 

[tôi là ai?]

Để như ban đầu vẫn đúng nhé, em hiểu [tex]\sum[/tex] nghĩa là gì mà ^^
Chỉ là em không biết chứng minh [tex]\sum \frac{a}{b+c+1}\leq 1[/tex] với [tex]\sum a^{2}=3[/tex] và a,b,c>0 như thế nào thoi.
Thấy ghi như vậy

nên em nghĩ là chị biết cách chứng minh :3
Cho em xin cách chứng minh với.
Em chỉ biết chứng minh [tex]\sum \frac{a}{a+b+1}\leq 1[/tex] với abc=1 và a,b,c>0 thoi

chứng minh cái trong ngoặc =<1 đc đấy bé
nó cx là 1 phần của cách làm của bé\'
giờ còn muốn xin chứng minh cái ngoặc đấy <1 k
nếu muốn anh có thể gõ ra

 

[Ann Lee]

chứng minh cái trong ngoặc =<1 đc đấy bé
nó cx là 1 phần của cách làm của bé\'
giờ còn muốn xin chứng minh cái ngoặc đấy <1 k

Đương nhiên là vẫn muốn rồi ^^

 

[tôi là ai?]

Đương nhiên là vẫn muốn rồi ^^

chờ xíu nghĩ đã

 

[tôi là ai?]

Đương nhiên là vẫn muốn rồi ^^

[tex]\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{a+b+1}\leq 1\rightarrow[/tex]
[tex]\rightarrow \frac{-b-1}{a+b+1}+\frac{-c-1}{b+c+1}+\frac{-a-1}{c+a+1}\leq -2\rightarrow \frac{b+1}{a+b+1}+...\geq 2[/tex]
[tex]\rightarrow \frac{(b+1)^{2}}{(b+1)(a+b+1)}+...\geq 2(like)[/tex] (cm cái này luôn đúng)
từ (like)
VT like [tex]\geq \frac{\left ( a+b+c+3 \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+ac+bc+3(a+b+c)+3)}[/tex]
mà
cái mẫu của cái trên =1/2(a+b+c+3)^2
=>cái (like luôn đúng )so VTlike>=2=VP like