Toán Chứng minh

[ducmanhduc1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x và y là các số thực lớn hơn 1
Chứng minh [x^3 +y^3 -x^2 -y^2]\[(x-1)(y-1)] >=8

 

[Otaku8874]

Ta có : $$\frac{x^3 +y^3 -x^2 -y^2}{(x-1)(y-1)}$$ = $$\frac{x^2(x-1) + y^2(y-1)}{(x-1)(y-1)}$$
= $$\frac{x^2}{y-1} + \frac{y^2}{x-1}$$ $$\geq$$ $$\frac{(x+y)^2}{x+y-2}$$ = x+y+2 + $$\frac{4}{x+y-2}$$ $$\geq 8$$

 

[ducmanhduc1]

Ta có : $$\frac{x^3 +y^3 -x^2 -y^2}{(x-1)(y-1)}$$ = $$\frac{x^2(x-1) + y^2(y-1)}{(x-1)(y-1)}$$
= $$\frac{x^2}{y-1} + \frac{y^2}{x-1}$$ $$\geq$$ $$\frac{(x+y)^2}{x+y-2}$$ = x+y+2 + $$\frac{4}{x+y-2}$$ $$\geq 8$$

Áp dụng Cosi như nào vậy ?

 

[Otaku8874]

Áp dụng Cosi như nào vậy ?

Bước nào bạn?
Bước cuối ak?

$$x+y+2 +\frac{4}{x+y-2} = (x+y+2) +\frac{4}{x+y-2} + 4$$
$$\geq 2\sqrt{(x+y-2).\frac{4}{x+y-2}} + 4 = 8$$

 

[Otaku8874]

Bước nào bạn?
Bước cuối ak?

$$x+y+2 +\frac{4}{x+y-2} = (x+y-2) +\frac{4}{x+y-2} + 4$$
$$\geq 2\sqrt{(x+y-2).\frac{4}{x+y-2}} + 4 = 8$$

dòng đầu là x+y - 2 nhé, mình viết nhầm

 

[chi254]

Áp dụng Cosi như nào vậy ?

Mình trình bày ra cho rõ hơn nhé!
- Áp dụng ở lần thứ nhất :
Bất đẳng thức này có thể chứng minh dễ dàng bằng cách khai triển .
- Áp dụng BĐT ở lần 2 :
$x + y + 2 + \dfrac{4}{x + y - 2}
= x + y - 2 + \dfrac{4}{x + y - 2} + 4
\geq 2\sqrt{(x + y - 2) .\dfrac{4}{x + y - 2} } + 4 = 2\sqrt{4} + 4 = 8$

 

[ducmanhduc1]

Mình trình bày ra cho rõ hơn nhé!
- Áp dụng ở lần thứ nhất :
Bất đẳng thức này có thể chứng minh dễ dàng bằng cách khai triển .
- Áp dụng BĐT ở lần 2 :
$x + y + 2 + \dfrac{4}{x + y - 2} = x + y - 2 + \dfrac{4}{x + y - 2} + 4 \geq 2\sqrt{(x + y - 2) .\dfrac{4}{x + y - 2} } + 4 = 2\sqrt{4} + 4 = 8$

Cám ơn bạn .. Mình thắc mắc cái đoạn cauchy thôi thì ra nó là cauchy schwarz nên không hiểu