chứng minh

[sakura024]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: chứng minh rằng:
$1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = ( 1 + 2 + 3 + ... + n )^2$

 

[nguyenbahiep1]

[TEX]1^3 +2^3 + ....+n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}[/TEX]

bạn chứng minh nó bằng quy nạp

[TEX]1 +2 + 3+ ...+ n = \frac{n(n+1)}{2}[/TEX]

vậy là xong

 

[chienhopnguyen]

Bài 1 chứng minh rằng
$1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = ( 1+2+3+...+n ) ^2$
Giúp mình với. giải quyết chi tiết hộ mình nha!
Mình sẽ thank các bạn!
giải
đầu tiên ta so sánh tổng đó mũ một với tổng đó mũ hai và so sánh tổng đó mũ 3 với tổng đó mũ 1 cuối cùng la so sánh tổng đó mũ 3 với tổng đó mũ 2
+ so sánh tổng đó mũ một với tổng đó mũ hai:
$1^2+...n^2=(1+2+...+n).(1+2+...+n)$
hay $[(n+1).n:2]. [(n+1).n:2]$ (theo tính chat tính tổng của dãy số)
$={(n+1).n}^2:4=(n+1).n:2$
Vậy tổng đó mũ một=tổng đó mũ 2
+so sánh tổng đó mũ 3 với tổng đó mũ 1:
$1^3+....+n^3=(1+2+...+n).(1+2+...+n).(1+2+...+n)$
hay $[(n+1).n:2].[(n+1).n:2].[(n+1).n:2]$
$={(n+1).n}^3:8=(n+1).n:2$
vậy tổng đó mũ 3=tổng đó mũ 1
vì tổng đó mũ 3=tổng đó mũ 1=tổng đó mũ 2
Vậy tổng đó mũ 3=tổng đó mũ 2
hay $1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = ( 1+2+3+...+n ) ^2$

 

[0872]

Với [TEX]n\in\mathbb{N}[/TEX] thì ta có:

[TEX]n^2 - n = (n - 1)(n + 1)[/TEX] .

[TEX]n^2 - n= n( n^2 - 1) [/TEX]

[TEX]= n( n^2 - n + n - 1) [/TEX]

[TEX]=n[(n^2 - n) + ( n - 1)] = n[n(n - 1) + ( n - 1)] = (n - 1)n( n + 1)[/TEX]

\Rightarrow đpcm

Ta có:

[TEX]1^3 + 2^3 + 3^3 +...+ n^3[/TEX]

[TEX]= 13-1 + 23- 2 + 33- 3 + 43- 4 + 53- 5 +...+ n^3- n + ( 1 + 2 + 3 +...+ n )[/TEX]

[TEX]= 0 + 2( 22 - 1 ) + 3( 32 - 1 ) + 4( 42 - 1 ) + ...+ n( n^2 - 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + ...+ n )[/TEX]

[TEX]= 0 + 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + ...+ (n - 1 )n( n + 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n )[/TEX]

[TEX]= \frac{(n - 1)n(n + 1)(n + 2)}{4} + \frac{n(n + 1)}{2} = \frac{n(n + 1) [(n - 1)(n - 2)]}{4} + \frac{1}{2}[/TEX]

[TEX]= n( n + 1).\frac{(n^2 + n - 2 + 2)}{4} = \frac{n( n + 1 )[ n(n + 1) ]}{4} = \frac{[ n^2(n + 1)^2 ]}{2}^2 = \frac{[n(n + 1)}{2]}^2[/TEX]

Nhận xét: Vì [TEX]\frac{n(n + 1)}{2} = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n[/TEX] , nên ta có

[TEX]1^3+ 2^3+ ... + n^3 = (1+ 2+ ... + n)^2 \forall n \in\mathbb{N}[/TEX].

\Rightarrow [TEX]1^3+ 2^3+ ... + n^3 = (1+ 2+ ... + n)^2[/TEX]