Chứng minh: $$y^3-x^3-6y^2-x^2+9y\ge 0$$

[pandahieu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

$\boxed{1}$ Tìm $m$ để GTLN của
$$y=\dfrac{2x+m}{x^2+1}=3$$

$\boxed{2}$ a)Cho $a+b\ge 2$ chứng minh $a^3+b^3\le a^4+b^4$

b)Cho $x+y=3$; $x\le 1$. Chứng minh:
$$y^3-x^3-6y^2-x^2+9y\ge 0$$

 

[braga]

$\fbox{Bài 1}.$
$Maxy= \dfrac{2x+m}{x^{2}+1}= 3\Leftrightarrow \dfrac{2x+m}{x^{2}+1}\leq 3 \\ \iff 2x+m\leq 3(x^{2}+1) \iff 2x+m\leq 3(x^{2}+1) \\ \iff 3x^{2}-2x+3-m\geq 0 \iff 1-3\left ( 3-m \right )\leq 0\\ \iff m\leq \dfrac{8}{3}$
$\fbox{Bài 2b}.$ Ta có $x \le 1$ nên $y\ge 2$.
Ta có:
$$\begin{array}{l}
y^3-x^3-6y^2-x^2+9y \\
=y(y-3)^2-x^2(x+1) \\
=(3-x)x^2-x^2(x+1) \\
=2x^2(1-x)\ge 0
\end{array}$$
Với $x\le 1$

Bài 2a:
$\fbox{Cách 1:}$
Trước tiên ta chứng minh:
$$2({a^4} + {b^4}) \ge (a + b)({a^3} + {b^3})$$
Thật vậy:
$$\begin{array}{l}
2({a^4} + {b^4}) \ge (a + b)({a^3} + {b^3})\\
\iff {a^4} + {b^4} \ge {a^3}b + a{b^3 }\\
\iff {(a - b)^2}({a^2} + {b^2} + ab) \ge 0
\end{array}$$
Do $(a + b) \ge 2$ nên $(a + b)({a^3} + {b^3}) \ge 2({a^3} + {b^3})$
Suy ra:
$$2({a^4} + {b^4}) \ge (a + b)({a^3} + {b^3}) \ge 2({a^3} + {b^3})$$
Từ đó có được:
$$({a^4} + {b^4}) \ge ({a^3} + {b^3})$$
Dấu bằng xảy ra $\iff a=b=1$
$\fbox{Cách 2:}$
Ta có:
\[\begin{array}{l}
({a^4} + {b^4}) \ge ({a^3} + {b^3})\\
\iff {a^4} - {a^3} + {b^4} - {b^3} \ge 0\\
\iff {a^3}(a - 1) + {b^3}(b - 1) \ge 0\\
\iff ({a^3} - 1 + 1)(a - 1) + ({b^3} - 1 + 1)(b - 1) \ge 0\\
\iff ({a^3} - 1)(a - 1) + a - 1 + ({b^3} - 1)(b - 1) + b - 1 \ge 0\\
\iff {(a - 1)^2}({a^2} + a + 1) + {(b - 1)^2}({b^2} + b + 1) + (a + b - 2) \ge 0
\end{array}\]
Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên ta có điều phải chứng minh.

 

[pandahieu]

Nguồn: VMF
a) Đặt $a=1+x, b=1+y$, từ giả thiết suy ra: $x+y \ge 0$.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $(1+x)^{3}+(1+y)^{3}\le (1+x)^{4}+(1+y)^{4}$

$ 0\le x(1+x)^{3}+y(1+y)^{3}$

$ x+y+3(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})+3(x^{2}+y^{2})+(x^{4}+y^{4})\ge 0$ luôn đúng do $x+y \ge 0$

b) Đặt $x=1-a, a\ge 0$ thì từ giả thiết suy ra: $y=2+a$. Lúc này bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

$(2+a)^{3}-(1-a)^{3}-6(2+a)^{2}-(1-a)^{2}+9(2+a)\ge 0$

$a^{3}-2a^{2}+a\ge 0$

$ a(a-1)^{2}\ge 0$ (đúng vì $a\ge 0$)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=0$ hoặc $a=1$, tức là khi $x=1, y=2$ hoặc $x=0, y=3$

 

[c2nghiahoalgbg]

Bài này có thể chứng minh tổng quát bằng BDT TSÊBƯSÉP như sau:
Giả sử a \leq b \Rightarrow $a^n$\leq $b^n$
Áp dụng BDT TSÊBƯSÉP ta có:
$(a+b)(a^n+b^n)$ \leq $2(a^{n+1}+b^{n+1})$ \leq $(a+b)(a^{n+1}+b^{n+1})$
\Rightarrow $a^n+b^n$ \leq $a^{n+1}+b^{n+1})$
Cho n=3 ta được BDT cần chứng minh