Toán 9 chứng minh x, y, z

[azura.]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho [tex]x^2 +y^2 =1 .[/tex] CMR [tex]-\sqrt{2}\leq x+y\leq \sqrt{2}[/tex]
2. Cho [tex]x,y,z \geq 0 thỏa mãn x+y+z=1[/tex] . CMR :[tex]\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\leq 6[/tex]
3. Cho [tex]\sqrt{x}+2\sqrt{y}=10. CMR:x+y\geq 20[/tex]
4. Cho x, y, z >0 . CMR :[tex]\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}\geq xy+yz+xz[/tex]

Bài 2 sai đề nên mng giúp em các bài khác nha !!! :3

 

[Lê Tự Đông]

1. Cho [tex]x^2 +y^2 =1 .[/tex] CMR [tex]-\sqrt{2}\leq x+y\leq \sqrt{2}[/tex]
2. Cho [tex]x,y,z \geq 0 thỏa mãn x+y+z=1[/tex] . CMR :[tex]\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\leq 6[/tex]
3. Cho [tex]\sqrt{x}+2\sqrt{y}=10. CMR:x+y\geq 20[/tex]
4. Cho x, y, z >0 . CMR :[tex]\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}\geq xy+yz+xz[/tex]

1) Ta có: $(x-y)^{2} \geq 0$
$x^{2}+y^{2} \geq 2xy$
$2(x^{2}+y^{2} \geq x^{2}+y^{2}+2xy = (x+y)^{2}$
=> $(x+y)^{2} \leq 2$
=> $-\sqrt{2} \leq x+y \leq \sqrt{2}$
3. $\sqrt{x}+2\sqrt{y}=10$
=> $(\sqrt{x}+2\sqrt{y})^{2}=x+4y+4\sqrt{xy} = 100$
$100=x+4y+2.2\sqrt{x}.\sqrt{y} \leq x+4y+4x+y = 5(x+y)$
=> $x+y \geq \frac{100}{5} = 20$
4. Ta có:
$(x-y)^{2} \geq 0$
=> $x^{2}-xy+y^{2} \geq xy$
=> $(x+y)(x^{2}-xy+y^{2}) \geq (x+y)xy$ (Do x,y >0)
=> $x^{3}+y^{3} \geq x^{2}y+xy^{2}$
=> $\frac{x^{3}+y^{3}}{y} \geq \frac{x^{2}y+xy^{2}}{y}$ (y>0)
=> $\frac{x^{3}}{y}+y^{2} \geq x^{2}+xy$
Chứng minh tương tự ta được:
$\frac{y^{3}}{z}+z^{2} \geq y^{2}+yz$
$\frac{z^{3}}{x}+x^{2} \geq z^{2}+zx$
=> $\frac{x^3}{y}+y^{2}+\frac{y^3}{z}+z^{2}+\frac{z^3}{x}+x^{2} \geq x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+xz$
=> $\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x} \geq xy+yz+xz$