Ta thấy:[tex]\left\{\begin{matrix} x^3-y^2-y=\frac{1}{3}\\ y^3-z^2-z=\frac{1}{3}\\ z^3-x^2-x=\frac{1}{3} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^3=y^2+y+\frac{1}{3}=(y+\frac{1}{2})^2+\frac{1}{12}>0\\ y^3=z^2+z+\frac{1}{3}=(z+\frac{1}{2})^2+\frac{1}{12}>0\\ z^3=x^2+x+\frac{1}{3}=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{1}{12}>0 \end{matrix}\right.\Rightarrow x,y,z>0[/tex]
Đặt [tex]f(t)=t^2+t+\frac{1}{3}[/tex]
[tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^3=f(y)\\ y^3=f(z)\\ z^3=f(x) \end{matrix}\right.[/tex]
Vì [tex]f(t)=(t+\frac{1}{2})^2+\frac{1}{12}[/tex] mà [tex]x,y,z>0[/tex] nên f(t) đồng biến.
Không mất tính tổng quát, giả sử x là số lớn nhất trong 3 số x,y,z.
[tex]\Rightarrow x^3\geq y^3\Rightarrow f(y)\geq f(z)\Rightarrow y\geq z\Rightarrow y^3\geq z^3\Rightarrow f(z)\geq f(x)\Rightarrow z\geq x[/tex]
Mà [tex]x\geq z\Rightarrow x=z\Rightarrow y=z\Rightarrow x=y=z(đpcm)[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
