Toán 12 Chứng minh vuông góc

[bombum96]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mọi người giúp mình chứng minh bài này bằng 2 cách nhé. Mình cám ơn nhiều ạ
Cho hình lập phương [TEX]ABCDA_1B_1C_1D_1[/TEX]. Trên [TEX]AD_1[/TEX] lấy [TEX]H[/TEX] sao cho [TEX]AH=\frac{1}{3}AD_1[/TEX].Trên [TEX]DB[/TEX] lấy [TEX]K[/TEX] sao cho [TEX]DK=\frac{1}{3}DB[/TEX]. Chứng minh [TEX]HK \bot AD_1[/TEX] và [TEX]HK \bot BD[/TEX]

 

[iceghost]

Cách 1.
Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$ thì $DK = \dfrac{1}3 DB = \dfrac{2}3 DO$, mà $DO$ là đường trung tuyến trong $\triangle{ADC}$ nên $K$ là trọng tâm $\triangle{ADC}$.
Tương tự thì $H$ là trọng tâm $\triangle{ADA_1}$
Gọi $I$ là trung điểm $AD$ thì $\dfrac{IH}{IA_1} = \dfrac{1}3 = \dfrac{IK}{IC}$, suy ra $HK \parallel A_1C$
Do $DC \perp (AA_1D_1D) \supset AD_1$ và $A_1D \perp AD_1$, suy ra $AD_1 \perp (A_1DC) \supset A_1C$, suy ra $AD_1 \perp HK$
Tương tự thì $BD \perp (AA_1C) \supset A_1C$ nên $BD \perp HK$

Cách 2.
Đầu tiên đưa $\vec{HK}$ về 3 vec-tơ cơ sở trước
\begin{aligned} \vec{HK} &= \dfrac{1}{3} \vec{D_1K} + \dfrac{2}{3} \vec{AK} \\
&= \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}3 \vec{D_1B} + \dfrac{2}3 \vec{D_1D} \right) + \dfrac{2}{3} \left( \dfrac{1}3 \vec{AB} + \dfrac{2}{3} \vec{AD}$ \right) \\
\implies 9\vec{HK} &= \vec{D_1B} + 2\vec{D_1D} + 2\vec{AB} + 4\vec{AD} \\
& = \vec{D_1D} + \vec{DB} + 2\vec{A_1A} + 2\vec{AB} + 4\vec{AD} \\
&= \vec{A_1A} + \vec{AB} - \vec{AD} + 2\vec{A_1A} + 2\vec{AB} + 4\vec{AD} \\
&= 3(\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{A_1A}) \\
\implies 3\vec{HK} &= \vec{AB} + \vec{AD} - \vec{AA_1}
\end{aligned}
Từ đây, dùng tích vô hướng thôi nhỉ:
\begin{aligned} 3\vec{HK} \cdot \vec{AD_1} &= (\vec{AB} + \vec{AD} - \vec{AA_1}) \cdot (\vec{AA_1} + \vec{AD}) \\
&= \vec{AB} \cdot \vec{AA_1} + \vec{AB} \cdot \vec{AD} + AD^2 - AA_1^2 \\
&= 0 + 0 + 0 = 0 \\
3\vec{HK} \cdot \vec{BD} &= (\vec{AB} + \vec{AD} - \vec{AA_1}) \cdot (\vec{AD} - \vec{AB}) \\
&= AD^2 - AB^2 - \vec{AA_1} \cdot \vec{AD} + \vec{AA_1} \cdot \vec{AB} \\
&= 0 - 0 + 0 = 0 \end{aligned}
Do đó $HK \perp AD_1$ và $HK \perp BD$

 

[bombum96]

Cách 1.
Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$ thì $DK = \dfrac{1}3 DB = \dfrac{2}3 DO$, mà $DO$ là đường trung tuyến trong $\triangle{ADC}$ nên $K$ là trọng tâm $\triangle{ADC}$.
Tương tự thì $H$ là trọng tâm $\triangle{ADA_1}$
Gọi $I$ là trung điểm $AD$ thì $\dfrac{IH}{IA_1} = \dfrac{1}3 = \dfrac{IK}{IC}$, suy ra $HK \parallel A_1C$
Do $DC \perp (AA_1D_1D) \supset AD_1$ và $A_1D \perp AD_1$, suy ra $AD_1 \perp (A_1DC) \supset A_1C$, suy ra $AD_1 \perp HK$
Tương tự thì $BD \perp (AA_1C) \supset A_1C$ nên $BD \perp HK$

Cách 2.
Đầu tiên đưa $\vec{HK}$ về 3 vec-tơ cơ sở trước
\begin{aligned} \vec{HK} &= \dfrac{1}{3} \vec{D_1K} + \dfrac{2}{3} \vec{AK} \\
&= \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}3 \vec{D_1B} + \dfrac{2}3 \vec{D_1D} \right) + \dfrac{2}{3} \left( \dfrac{1}3 \vec{AB} + \dfrac{2}{3} \vec{AD}$ \right) \\
\implies 9\vec{HK} &= \vec{D_1B} + 2\vec{D_1D} + 2\vec{AB} + 4\vec{AD} \\
& = \vec{D_1D} + \vec{DB} + 2\vec{A_1A} + 2\vec{AB} + 4\vec{AD} \\
&= \vec{A_1A} + \vec{AB} - \vec{AD} + 2\vec{A_1A} + 2\vec{AB} + 4\vec{AD} \\
&= 3(\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{A_1A}) \\
\implies 3\vec{HK} &= \vec{AB} + \vec{AD} - \vec{AA_1}
\end{aligned}
Từ đây, dùng tích vô hướng thôi nhỉ:
\begin{aligned} 3\vec{HK} \cdot \vec{AD_1} &= (\vec{AB} + \vec{AD} - \vec{AA_1}) \cdot (\vec{AA_1} + \vec{AD}) \\
&= \vec{AB} \cdot \vec{AA_1} + \vec{AB} \cdot \vec{AD} + AD^2 - AA_1^2 \\
&= 0 + 0 + 0 = 0 \\
3\vec{HK} \cdot \vec{BD} &= (\vec{AB} + \vec{AD} - \vec{AA_1}) \cdot (\vec{AD} - \vec{AB}) \\
&= AD^2 - AB^2 - \vec{AA_1} \cdot \vec{AD} + \vec{AA_1} \cdot \vec{AB} \\
&= 0 - 0 + 0 = 0 \end{aligned}
Do đó $HK \perp AD_1$ và $HK \perp BD$

Cám ơn bạn nhiều lắm, nhưng ở cách 2 mình không hiểu tại sao có vecto cơ sở này ạ
[TEX]\vec{HK}=\frac{1}{3} \vec{HD_1}+\frac{2}{3} \vec{AK} [/TEX]