Chứng minh vuông góc (nâng cao)

[toantoan2000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E. Một đường qua A cắt BC tại M và cắt CD tại N. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng EM và BN. Cm: CK vuông góc BN
LƯU Ý: có thể sử dụng tất cả kiến thức lớp 8, 9

 

[huynhbachkhoa23]

Từ cái tam giác vuông gợi ý cho ta việc chứng minh một đẳng thức vuông góc quen thuộc trong tam giác vuông:
$\dfrac{BC^2}{CN^2}=\dfrac{\overline{BK}}{ \overline{KN}}$
Gọi $S\equiv EM\cap DC$
Khi đó áp dụng định lý Menelaus:
$\dfrac{\overline{SN}}{ \overline{SC}}.\dfrac{ \overline{MA}}{\overline{MN}}=-1$
$\dfrac{\overline{SN}}{ \overline{SC}}.\dfrac{ \overline{MC}}{\overline{MB}}.\dfrac{ \overline{KB}}{ \overline{KN}}=1$
Từ đây ta có
$\dfrac{\overline{MA}}{ \overline{MN}}=\dfrac{ \overline{MC}}{\overline{MB}}.\dfrac{ \overline{KB}}{ \overline{NK}}$
Áp dụng định lý Thales: $\dfrac{ \overline{MA}}{\overline{MN}}=\dfrac{ \overline{MB}}{\overline{MC}}=\dfrac{ \overline{BA}}{\overline{CN}}$
Do đó ta có: $\dfrac{BC^2}{CN^2}=\dfrac{\overline{BK}}{ \overline{KN}}$
Hoàn tất chứng minh. Nếu không thích mấy cái gạch trên đầu thì bỏ đi, rồi đem chứng minh trùng cũng được.