Cho hình vuông ABCD có M là trung điểm AB, N thuộc AC sao cho AN=3NC. Chứng minh tam giác DMN vuông cân .
Hình tự vẽ nhé!
+ Gọi giao điểm của AC và BD là O
+ Gọi H là trung điểm của OD
Do $AN =3NC$ và O là trung điểm AC
~> N là trung điểm của OC [tex]\Delta OCD[/tex]
~> NH là đường trung bình của
~> $NH // CD // AB$
mà [tex]NH = \frac{1}{2} .CD = \frac{1}{2}.AB = AM[/tex]
~> AMNH là hình bình hành
~> $ MN // AH (1) $
Lại có: [tex]\Delta ADN[/tex] có [tex]AD\perp AN; NH\perp AD[/tex]
Mặt khác: OD cắt NH tại H
~> H là trực tâm của [tex]\Delta ADN[/tex]
~> [tex]AH\perp ND (2)[/tex]
Từ [tex](1)(2)\Rightarrow MN\perp ND[/tex]
~> [tex]\Delta DMN[/tex] vuông tại N
+ Kéo dài NH cắt AD tại K
Ta luôn c/m đc [tex]\Delta AKN[/tex] là tam giác vuông cân (do [tex]\widehat{AKN}=45^{\circ}[/tex] )
~> $AK=AN$
~> 2 tam giác vuông [tex]\Delta AHK ,\Delta NDK[/tex] bằng nhau (Trường hợp g.c.g)
~> [tex]AH=ND[/tex]
lại có $AH = MN$ (do AMNH là hình bình hành)
~>$ MN = ND$
~> [tex]\Delta DMN[/tex] vuông cân tại N
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
