Toán 10 Chứng minh vecto

[Trâm Nguyễn Thị Ngọc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Trong mặt phẳng cho tam giác ABC. Cho một đường thẳng d là đường thẳng bất kỳ. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và A', B', C', G' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A,B,C,G lên đường thẳng d.
Chứng minh rằng: vtAA' + vtBB' +vtCC'= 3GG'
2. Cho tam giác ABC. M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Chứng minh rằng:
SMBC.vtMA + SMCA. vtMB + SMAB.vtMC=vt0
@iceghost , @Mộc Nhãn , Giúp em với ạ

 

[DABE Kawasaki]

1)Ta có :
[tex]\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'G'}[/tex]
[tex]\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{B'G'}[/tex]
[tex]\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{C'G'}[/tex]
Cộng vế theo vế ta dc:
[tex]3\overrightarrow{GG'}=(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})+(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'})+(\overrightarrow{A'G'}+\overrightarrow{B'G'}+\overrightarrow{C'G'})[/tex]
[tex]=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}[/tex]

 

[iceghost]

1. Lời giải sử dụng phép chiếu vec-tơ:
Chọn $X$ tùy ý thuộc $d$
Khi đó ta có $\vec{AX} + \vec{BX} + \vec{CX} = 3\vec{GX}$
Chiếu các vec-tơ lên phương $d'$ vuông góc $d$ ta được:
$\vec{AA'} + \vec{BB'} + \vec{CC'} = 3\vec{GG'}$

P/s: Giải thích chút về cách chiếu

Hình bên trái là phép chiếu khi $XY$ nằm lơ lửng, không có gì đặc biệt. Khi đó thì $\vec{XY}$ bị chiếu thành $\vec{X'Y'}$ (hoặc $\overline{X'Y'}$ nếu bạn biết đây là gì)
Hình bên phải là phép chiếu trong bài này, với $C$ nằm trên phương chiếu và $X$ nằm trên $d$ vuông góc phương chiếu
Khi đó $\vec{CX}$ bị chiếu thành $\vec{C'C}$

2) Đây là hệ thức Jacobi.
Gọi $AM$ cắt $BC$ tại $N$
Khi đó do $B, N, C$ thẳng hàng nên $\vec{AN} = \dfrac{CN}{BC} \vec{AB} + \dfrac{BN}{BC} \vec{AC}$
$\iff \dfrac{AN}{AM} \vec{AM} = \vec{AM} + \dfrac{CN}{BC} \vec{MB} + \dfrac{BN}{BC} \vec{MC}$ (tỉ lệ + chèn điểm)
Biến đổi tỉ lệ: $\dfrac{AN}{AM} = \dfrac{S_{ABN}}{S_{ABM}} = \dfrac{S_{ACN}}{S_{ACM}} = \dfrac{S_{ABN} + S_{ACN}}{S_{ABM} + S_{ACM}} = \dfrac{S_{ABC}}{S_{ABM} + S_{ACM}}$
$\dfrac{CN}{BC} = \dfrac{S_{ACN}}{S_{ACB}} = \dfrac{S_{MCN}}{S_{MCB}} = \dfrac{S_{ACN} - S_{MCN}}{S_{ACB} - S_{MCB}} = \dfrac{S_{ACM}}{S_{ABM} + S_{ACM}}$
$\dfrac{BN}{BC} = \ldots = \dfrac{S_{ABM}}{S_{ABM} + S_{ACM}}$
Thay vào rồi quy đồng ta suy ra $S_{ABC} \vec{AM} = (S_{ABM} + S_{ACM}) \vec{AM} + S_{ACM} \vec{MB} + S_{ABM} \vec{MC}$
Hay $S_{BMC} \vec{AM} + S_{ACM} \vec{BM} + S_{ABM} \vec{CM} = \vec{0}$
Ta có đpcm