Toán 9 Chứng minh tứ giác nội tiếp

[Phạm Ngọc Lann]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho (O;R) và dây BC <2R. Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau ở A. Điểm M bất kì trên cung nhỏ BC. Gọi I, H, K lần lượt là hình chiếu của M trên BC, CA, AB. Cho BM cắt IK tại P, CM cắt IH tại Q. Chứng minh
a) MI^2= MH.MK
b) PQ vuông góc với MI
c) Nếu KI=KB thì IH=IC
Mng giúp mình nhée. Thanks guyss

 

[7 1 2 5]

a) Ta có: MIBK nội tiếp [tex]\Rightarrow \widehat{IKM}=\widehat{MBI}=\widehat{MBC}=\widehat{MCH}[/tex]
MICH nội tiếp [tex]\Rightarrow \widehat{MCH}=\widehat{MIH}\Rightarrow \widehat{MIH}=\widehat{MKI}[/tex]
Tương tự ta cũng có [tex]\widehat{MHI}=\widehat{MIK}\Rightarrow \Delta MIH\sim \Delta MKI\Rightarrow \frac{MI}{MH}=\frac{MK}{MI}\Rightarrow IM^2=MH.MK[/tex]
b) [tex]\widehat{BPI}=\widehat{KBM}+\widehat{BKI}=\widehat{BCM}+\widehat{BMI}=\widehat{BCM}+90^o-\widehat{IBM}=\widehat{BCM}+90^o-\widehat{MCH}=\widehat{BCM}+\widehat{CMH}=\widehat{BCM}+\widehat{CIH}=\widehat{MQI}\Rightarrow[/tex] MPIQ nội tiếp
Từ đó [tex]\widehat{MPQ}=\widehat{MIQ}=\widehat{MCH}=\widehat{MBC}\Rightarrow \widehat{MPQ}+\widehat{PMI}=\widehat{MBC}+\widehat{PMI}=90^o\Rightarrow PQ\perp MI[/tex]
c) [tex]KI=KB\Rightarrow \widehat{KIB}=\widehat{KBI}[/tex]
Mà [tex]\widehat{KBI}=\widehat{HCI},\widehat{KIB}=\widehat{KMB}=90^o-\widehat{KBM}=90^o-\widehat{BCM}=\widehat{CMI}=\widehat{CHI}\Rightarrow \widehat{HCI}=\widehat{CHI}\Rightarrow IH=IC[/tex]