Chứng minh tứ giác nội tiếp

[dotantai1999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho (O),dây cung AB. Từ điểm M bất kỳ trên cung AB(M#A và M#B),kẻ dây cung MN vuông góc với AB tại H. Gọi MQ là đường cao của tam giác MAN.
1. C/m 4 điểm A;M;H;Q cùng nằm trên một đường tròn.
2. C/m:NQ. NA=NH. NM.
3. C/m MN là phân giác của góc BMQ.
4. Hạ đoạn thẳng MP vuông góc với BN, xác định vị trí của M trên cung AB để MQ. AN+MP. BN có giác trị lớn nhất.
Mấy anh chị làm giúp em câu 4 với nhé. Em cám ơn nhiều ạ. à mà giải rõ giúp e với, em hơi chậm hỉu xíu. @-)

 

[eye_smile]

1,Xét tứ giác AQHM có:

Điểm Q vfa H cùng nhìn cạnh AM dưới góc 90 độ

\Rightarrow tứ giác AQHM nt

\Rightarrow 4 điểm A;Q;H;M cùng thuộc 1 đường tròn

2,Tam giác NMQ đ.dạng với tam giác NAH( g-g)

\Rightarrow Tỉ số

\Rightarrow đpcm

3,Ta có:

Góc NMQ=góc BAN=góc BMN

\Rightarrow MN là phân giác góc BMQ

 

[eye_smile]

4,Ta có:

$MQ.AN+MP.BN=2.S_{AMN}+2.S_{MNB}=2S_{AMBN} = 2.\dfrac{1}{2}.AB.MN=AB.MN$

Do AB cố định nên BT đã cho max \Leftrightarrow MN max

Mà MN là dây cung nên MN \leq 2R

\Rightarrow $MQ.AN+MP.BN$ \leq 2AB.R

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow M là điểm chính giữa cung AB