Trước tiên , ta xét 5 điểm bất kì, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Ta vạch một bao lồi. Nếu bao lồi này có hơn 3 điểm thì hiển nhiên có ít nhất 1 tứ giác lồi. Nếu chỉ gồm 3 điểm, chẳng hạn A,B,C thì 2 điểm D,E phải nằm trong tam giác ABC. Khi đó , có hai đỉnh của tam giác ABC nằm cùng phía đối với đường thẳng DE, và cùng với D, E, 2 đỉnh đó tạo thành tứ giác lồi. Như vậy, mệnh đề cần chứng minh đúng với n=5
Xét n điểm với n>5 .Vì không có 3 điểm nào thẳng hàng nên số tất cả cách chọn n điểm như trên là: [imath]C^5_n[/imath][math][/math]Mỗi cách chọn cho ta ít nhất 1 tứ giác lồi, tuy nhiên bất kì tứ giác lồi nào cũng có thể lặp từ n-4 tập hợp khác nhau gồm 5 điểm nói trên, do vậy có ít nhất
[imath]\dfrac{1}{n-4}C^5_n=\dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{5!}[/imath]
Như vậy ta cần chứng minh rằng:
[imath]\dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{5!}\geq\dfrac{(n-4)(n-3)}{2};\forall x \geq6[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (n-5)(n-6)(n+8) \geq 0;\forall x \geq 6[/imath]
Lập bảng xét dấu ta được đpcm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
))