Toán 11 Chứng minh tồn tại vô số nguyên dương n

[David Wind]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho số nguyên dương n. Đặt $r_{k}(n) = n -[\frac{n}{k}]k$ và $s_{n}=\sum r_{k}(n)$ ($k \in Z$, $1\leq k \leq n$)
Chứng minh tồn tại vô số nguyên dương n để $s_{n}=s_{n+1}$

 

[2712-0-3]

Cho số nguyên dương n. Đặt $r_{k}(n) = n -[\frac{n}{k}]k$ và $s_{n}=\sum r_{k}(n)$ ($k \in Z$, $1\leq k \leq n$)
Chứng minh tồn tại vô số nguyên dương n để $s_{n}=s_{n+1}$

David Wind$r_k(n)$ thực tế có thể hiểu là số dư của n khi chia cho k nhé. Thật ra vẫn xài được phần nguyên, nhưng mà mình sẽ đi theo cái hướng gọi sô dư đi nha.
Ta sẽ chứng minh với $n=2^t-1$ thì thỏa mãn, tức $s_{2^t-1} = s_{2^t}$
Ta nhận thấy, trong phần lớn trường hợp, ta đều có: $r_{k} (n) +1 = r_k (n+1)$ ngoại trừ khi $k|n+1$ thì $r_k (n)= k-1; r_k (n+1)=0$
Ta cũng xét điều này với $n=2^t-1$ .
Ta có: $r_k(n+1) - r_k(n) = 1$ với mọi $k$ không có dạng lũy thừa của 2.
và $r_k(n+1) - r_k(n) = 0 - (k-1) = 1-k$ với $k$ có dạng lũy thừa của 2. ($k\leq n )$ (có $t$ giá trị $k$ như vậy: $2^0, 2^1 , \cdots, 2^{t-1}$)
Khi này, xét hiệu:
$s_{n+1} - s_{n} = r_{n+1}(n+1) + (r_n(n+1) -r_n (n) ) + (r_{n-1} (n+1) - r_{n-1} (n+1) ) + \cdots + (r_1 (n+1) - r_1(n))$
$=2^t -1 - (2^0 +2^1+ \cdots + 2^{t-1} ) = 0$
Vậy có vô hạn $n=2^t-1$ sao cho $s_n=s_{n+1}$

Ngoài ra mời bạn tham khảo tại:
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Số học
[Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học