Toán 9 Chứng minh tồn tại số thực [TEX]x[/TEX]

[mbappe2k5]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giả sử [TEX]a_1, a_2,..., a_n[/TEX] là các số thực cho trước. Chứng minh rằng luôn tồn tại số thực [TEX]x[/TEX] sao cho tất cả các số [TEX]a_1+x, a_2+x, a_3+x,..., a_n+x[/TEX] đều là số vô tỉ.

@Mộc Nhãn @Lê.T.Hà @ankhongu @iceghost Mọi người giúp em ạ, em cảm ơn ạ!!!

 

[7 1 2 5]

Ta lập bảng n x (n + 1) như sau:
Hàng 1: [tex]\sqrt{2}+a_1;\sqrt{2}+a_2;...;\sqrt{2}+a_n[/tex]
Hàng 2: [tex]2\sqrt{2}+a_1;2\sqrt{2}+a_2;...;2\sqrt{2}+a_n[/tex]
.....
Hàng n + 1: [tex](n+1)\sqrt{2}+a_1;(n+1)\sqrt{2}+a_2;...;(n+1)\sqrt{2}+a_n[/tex]
Giả sử điều phải chứng minh là sai. Vậy mỗi hàng phải tồn tại ít nhất 1 số hữu tỉ. Lúc đó tổng các hàng sẽ có ít nhất n + 1 số hữu tỉ. Theo nguyên lí Dirichlet thì luôn tồn tại ít nhất [tex][\frac{n+1}{n}]+1=2[/tex] số hữu tỉ cùng nằm trên 1 cột. Gọi 2 số đó là [tex]p\sqrt{2}+a_i[/tex] và [tex]q\sqrt{2}+a_i[/tex].
Từ đó suy ra [tex]p\sqrt{2}+a_i-(q\sqrt{2}+a_i)\in \mathbb{Q}\Rightarrow (p-q)\sqrt{2}\in \mathbb{Q}[/tex](vô lí)
Vậy ta có đpcm.

 

[mbappe2k5]

Ta lập bảng n x (n + 1) như sau:
Hàng 1: [tex]\sqrt{2}+a_1;\sqrt{2}+a_2;...;\sqrt{2}+a_n[/tex]
Hàng 2: [tex]2\sqrt{2}+a_1;2\sqrt{2}+a_2;...;2\sqrt{2}+a_n[/tex]
.....
Hàng n + 1: [tex](n+1)\sqrt{2}+a_1;(n+1)\sqrt{2}+a_2;...;(n+1)\sqrt{2}+a_n[/tex]
Giả sử điều phải chứng minh là sai. Vậy mỗi hàng phải tồn tại ít nhất 1 số hữu tỉ. Lúc đó tổng các hàng sẽ có ít nhất n + 1 số hữu tỉ. Theo nguyên lí Dirichlet thì luôn tồn tại ít nhất [tex][\frac{n+1}{n}]+1=2[/tex] số hữu tỉ cùng nằm trên 1 cột. Gọi 2 số đó là [tex]p\sqrt{2}+a_i[/tex] và [tex]q\sqrt{2}+a_i[/tex].
Từ đó suy ra [tex]p\sqrt{2}+a_i-(q\sqrt{2}+a_i)\in \mathbb{Q}\Rightarrow (p-q)\sqrt{2}\in \mathbb{Q}[/tex](vô lí)
Vậy ta có đpcm.

À cho mình hỏi một tí, là mình có thể thay [TEX]\sqrt{2}[/TEX] bằng một số vô tỉ khác như [TEX]\sqrt{2020}[/TEX] được không?

 

[7 1 2 5]

À cho mình hỏi một tí, là mình có thể thay [TEX]\sqrt{2}[/TEX] bằng một số vô tỉ khác như [TEX]\sqrt{2020}[/TEX] được không?

Được cả nha bạn