Toán 9 Chứng minh [tex]\frac{x^{3}}{y}+\frac{y^{3}}{z}+\frac{z^{3}}{x}\geq 1[/tex]

[thoaqueens@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=1[/tex] .CMR [tex]\frac{x^{3}}{y}+\frac{y^{3}}{z}+\frac{z^{3}}{x}\geq 1[/tex]

 

[hdiemht]

Cho [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=1[/tex] .CMR [tex]\frac{x^{3}}{y}+\frac{y^{3}}{z}+\frac{z^{3}}{x}\geq 1[/tex]

Bài này cần có $DK: x;y;z>0$ chứ bạn? Còn không có $DK$ gì thì chắc cần phải xem lại!
Ta có: [tex]\frac{x^3}{y}+xy \ge 2x^2;\frac{y^3}{z}+yz \ge 2y^2;\frac{z^3}{x}+xz \ge 2z^2[/tex]
Cộng lại vế theo vế ta được: [tex]\frac{x^{3}}{y}+\frac{y^{3}}{z}+\frac{z^{3}}{x}+xy+yz+xz \ge 2(x^2+y^2+z^2)[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{x^{3}}{y}+\frac{y^{3}}{z}+\frac{z^{3}}{x} \ge 2(x^2+y^2+z^2)-(xy+yz+xz)\ge 2(x^2+y^2+z^2)-(x^2+y^2+z^2)=1[/tex]
Dấu ''='' xảy ra khi: [tex]x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex]