Cho tam giác ABC nhọn. Gọi I là giao điểm của 3 đường phân giác.
Chứng minh : [tex]\frac{IA^{2}}{AB.AC}+\frac{IB^{2}}{AB.BC}+\frac{IC^{2}}{BC.CA}=1[/tex]
Vì I là giao điểm của 3 đường phân giác của [tex]\Delta ABC[/tex] nên I là tâm đường tròn nội tiếp [tex]\Delta ABC[/tex]
Gọi (I;r)
Gọi p là nửa chu vi của [tex]\Delta ABC[/tex]
Gọi S là diện tích của [tex]\Delta ABC[/tex]
Gọi D; E và F lần lượt là tiếp điểm của AC,AB và BC với (I)
Ta có: [tex]AD+AE=(AC-CD)+(AB-BE)\\\Leftrightarrow 2AD=AB+AC-(CD+BE)\\\Leftrightarrow 2AD=AB+AC-(CF+BF)=AB+AC-BC\\\Leftrightarrow AD=\frac{AB+AC-BC}{2}=p-BC[/tex]
Ta có: [tex]S_{ABC}=S_{AIB}+S_{BIC}+S_{AIC}=\frac{r.AB}{2}+\frac{r.BC}{2}+\frac{r.CA}{2}=\frac{r(AB+BC+CA)}{2}=pr[/tex]
Theo công thúc Heron: [tex]S=\sqrt{p(p-BC)(p-AC)(p-AB)}[/tex]
Theo định lý Pythagores ta có:
[tex]AI^2=AD^2+ID^2=(p-BC)^2+r^2=(p-BC)^2+\left ( \frac{S}{p} \right )^2=(p-BC)^2+\frac{p(p-BC)(p-AC)(p-AB)}{p^2}=(p-BC)^2+\frac{(p-BC)(p-AC)(p-AB)}{p}=\frac{(p-BC)[(p-BC)p+(p-AC)(p-AB)]}{p}=\frac{(p-BC)[2p^2-p(AB+AC+BC)+AB.AC]}{p}=\frac{(p-BC)AB.AC}{p}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{IA^2}{AB.AC}=\frac{p-BC}{p}[/tex]
Tương tự: [tex]\frac{IB^{2}}{AB.BC}=\frac{p-CA}{p}[/tex]
[tex]\frac{IC^{2}}{BC.CA}=\frac{p-AB}{p}[/tex]
Suy ra [tex]\frac{IA^{2}}{AB.AC}+\frac{IB^{2}}{AB.BC}+\frac{IC^{2}}{BC.CA}=\frac{p-BC+p-AC+p-AB}{p}=\frac{p}{p}=1(dpcm)[/tex]
Có thể tham khảo cách khác trong bài 98 (phần hình) trong sách Nâng cao và phát triển Toán 9 tập một của tác giả Vũ Hưu Bình (còn lười tìm bài trong sách thì xem 3 hình đính kèm dưới đây)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
