Toán 9 Chứng minh[tex]\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AP^2}[/tex] bằng hệ thức lương giác

[Junery N]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh BC, tia AM cắt tia DC ở P. Chứng minh rằng: [tex]\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AP^2}[/tex]

 

[Minh Tín]

Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh BC, tia AM cắt tia DC ở P. Chứng minh rằng: [tex]\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AP^2}[/tex]

Hai tam giác vuông ABM và PDA đồng dạng với nhau theo góc-góc.
[TEX]\Rightarrow \frac{AM}{AP} = \frac{BM}{AD} = \frac{BM}{AB} [/TEX] (Do ABCD là hình vuông, AD=AB)
[TEX]\Rightarrow \frac{AM^2}{AP^2} = \frac{BM^2}{AB^2} [/TEX]
Xét tam giác vuông AMB vuông tại B: [TEX]BM^2 = AM^2 - AB^2[/TEX]
Vậy ta lại có:
[TEX] \frac{AM^2}{AP^2} = \frac{BM^2}{AB^2} = \frac{AM^2 - AB^2}{AB^2} = \frac{AM^2}{AB^2} -1 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{AM^2}{AB^2} = \frac{AM^2}{AP^2} + 1 = \frac{AM^2 + AP^2}{AP^2} [/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{1}{AB^2} = \frac{AM^2 + AP^2}{AP^2 . AM^2} = \frac{1}{AM^2} + \frac{1}{AP^2} [/TEX] (đpcm)