Toán 9 Chứng minh [tex]4<\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+ \frac {1}{\sqrt{9}}<5[/tex]

[Junery N]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]S=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{9}}[/tex]. Chứng minh rằng [tex]4<S<5[/tex]

 

[Lê Tự Đông]

Cho [tex]S=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{9}}[/tex]. Chứng minh rằng [tex]4<S<5[/tex]

Ta có:
$ 2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}) = \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} < \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k}} = \frac{1}{\sqrt{k}} < \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}} = 2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})$ (Với $k \in N^*$)
=> $S = .... > 2(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+....+\sqrt{10}-\sqrt{9}) = 2(\sqrt{10}-1) > 2(\sqrt{9}-1) =4$
và $S =.... < 1 + 2(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+......+\sqrt{9}-\sqrt{8}) = 1+2(\sqrt{9}-1) = 5$