Toán 9 Chứng minh tam giác vuông

[huyenhuyen5a12]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1,Cho tam giác ABC với a = BC, b= AC , c = AB . CMR tam giác ABC vuông khi :
a,[tex]tg^2\frac{\widehat{A}}{2} = \frac{|b-c|}{b+c}[/tex]
b, [tex]\frac{1}{p-a} - \frac{1}{p-b} - \frac{1}{p-c} = \frac{1}{p}[/tex] ( p là nửa chu vi)
c, [tex]tg\frac{\widehat{A}}{2} = \frac{a}{b+c}[/tex]
2, Cho tam giác ABC trên tia đối của tia CB lấy D sao cho CD = CB , trên tia đối của tia AC lấy E sao cho AE = 2CA . CMR : Nếu AD = BE thì tam giác ABC vuông

 

[iceghost]

1) Mấy bạn này, bạn cứ tính toán các thứ theo $a, b, c$ rồi rút gọn cũng được nhé.

a) $\tan^2 \dfrac{A}2 = \dfrac{|b - c|}{b + c}$

Xét $VT = \left(\dfrac{r}{p - a}\right)^2 = \left(\dfrac{S}{p(p - a)}\right)^2 = \dfrac{(p - b)(p - c)}{p(p-a)}$

Thay tiếp: $VT = \dfrac{(a - b + c)(a + b - c)}{(a + b + c)(b + c - a)} = \dfrac{a^2 - (b - c)^2}{(b + c)^2 - a^2}$

Thay vào rồi nhân chéo giả thuyết, chuyển $a^2$ qua một vế: $a^2(b + c + |b - c|) = (b+c)^2|b - c| + (b - c)^2(b+c)$

Suy ra $a^2 = (b + c)|b - c| = |b^2 - c^2|$. Ta có đpcm.

b, c) Bạn cứ làm tương tự là ra nhé


2) Đầu tiên, do đề bài cho các điểm khá là "xa" nên mình dựng các điểm $M$, $N$ trên $BC$ và $AB$ (chia tỉ lệ $1 : 2$) để theo định lý Ta-lét, ta thu được $AM = MN$. Bước này để vẽ hình gọn gọn lại thôi.

Ok, bắt đầu suy nghĩ chứng minh: từ hai cạnh bằng nhau, làm thế nào để suy ra tam giác vuông được? Hình như, mình chỉ nhớ ra định lý về đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền thôi.

Dựng thử điểm $D$ đối xứng $N$ qua $M$ để ra được tam giác vuông thì ồ, việc còn lại là chứng minh $A, C, D$ thẳng hàng mà thôi. Mà chuyện này nghe khá là quen thuộc rồi, lại có các tỉ lệ trong đề nữa: định lý Menelaus! $$\dfrac{AN}{AB} \cdot \dfrac{CB}{CM} \cdot \dfrac{DM}{DN} = \dfrac{2}3 \cdot \dfrac{3}1 \cdot \dfrac{1}2 = 1$$
Từ đó ta có đpcm



Nếu có câu hỏi gì thì bạn có thể hỏi lại bên dưới. Chúc bạn học tốt!