Toán 10 Chứng minh $t_{αβ}.t_{γδ}+t_{βγ}.t_{αδ}=t_{αγ}.t_{βδ}.$

[David Wind]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O,R). Đặt các đường tròn α,β,γ,δ là các đường tròn tiếp xúc với (O) tại các đỉnh A,B,C,D. Đăt $t_{αβ}$ là độ dài đoạn tiếp tuyến chung của hai đường tròn α,β. Trong đó $t_{αβ}$ là độ dài tiếp tuyến chung ngoài nếu hai đường tròn α,β cùng tiếp xúc trong hoặc cùng tiếp xúc ngoài với (O), và là độ dài đoạn tiếp xúc trong với trường hợp còn lại. Các đoạn $t_{αγ},t_{βγ},...$được xác định tương tự.Chứng minh rằng:
$t_{αβ}.t_{γδ}+t_{βγ}.t_{αδ}=t_{αγ}.t_{βδ}.$

 

[vangiang124]

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O,R). Đặt các đường tròn α,β,γ,δ là các đường tròn tiếp xúc với (O) tại các đỉnh A,B,C,D. Đăt $t_{αβ}$ là độ dài đoạn tiếp tuyến chung của hai đường tròn α,β. Trong đó $t_{αβ}$ là độ dài tiếp tuyến chung ngoài nếu hai đường tròn α,β cùng tiếp xúc trong hoặc cùng tiếp xúc ngoài với (O), và là độ dài đoạn tiếp xúc trong với trường hợp còn lại. Các đoạn $t_{αγ},t_{βγ},...$được xác định tương tự.Chứng minh rằng:
$t_{αβ}.t_{γδ}+t_{βγ}.t_{αδ}=t_{αγ}.t_{βδ}.$

Bài này dùng định lý Casey(Potoleme mở rộng)

Đầu tiên ta chứng minh cho trường hợp $ \alpha, \beta, \gamma, \delta$ cùng tiếp xúc ngoài với $(O)$ , các trường hợp khác tương tự.

Gọi tâm các đường tròn trên là $A',B',C',D'$ và bán kính lần lượt là $x,y,z,t$.

Đặt $AC=m, BD=n$. Theo định lý Pytago :

$t_{\alpha \beta}^2 =A'B'^2-(x-y)^2$
Áp dụng định lý cosin ta có:

$A'B'^2=(R+x)^2+(R+y)^2-2(R+x)(R+y)\cdot \cos \widehat{A'OB'}\\=(R+x)^2+(R+y)^2-2(R+x)(R+y)\cdot \left(1-\dfrac{a^2}{2R^2}\right)$
$=(R+x)^2+(R+y)^2-2(R+x)(R+y)+(R+x)(R+y)\dfrac{a^2}{2R^2}$

$=(x-y)^2+(R+x)(R+y)\dfrac{a^2}{2R^2}$

$\implies t_{\alpha \beta}=\dfrac{a}{R} \sqrt{(R+x)(R+y)}$
Tương tự với các đoạn thẳng còn lại ta có
$t_{αβ}.t_{γδ}+t_{βγ}.t_{αδ}=t_{αγ}.t_{βδ} \iff ac+bd=mn$ (luôn đúng theo định lý Ptoleme)

Cho $x=y=z=t=0$ ta được định lý Ptoleme
Em tham khảo topic này nhé
https://diendan.hocmai.vn/threads/t...c-mon-danh-cho-ban-hoan-toan-mien-phi.827998/
Em tham khảo thêm định lý chị nói ở trên nhé, chúc em học tốt.