Toán 9 Chứng minh sự tồn tại của các điểm

[nhatminh1472005]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC nhọn có [tex]\widehat{BAC}=60^{\circ}[/tex], [tex]BC=2\sqrt{3}cm[/tex]. Bên trong tam giác này cho 13 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng trong 13 điểm ấy luôn tìm được 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1cm.

 

[7 1 2 5]

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vẽ OM, ON, OP vuông với BC, CA, AB.
Dễ dàng chứng minh được [tex]\angle BOC = 2\angle ABC=120^o \Rightarrow \angle MOC=60^o[/tex]
[tex]\Rightarrow OC=\frac{MC}{sin 60^o}=2\Rightarrow OA=OB=OC=2[/tex]
Tam giác ABC được chia thành 3 tứ giác nội tiếp đường tròn có đường kính là 2.
Trong 13 điểm đã cho tồn tại 5 điểm thuộc cùng 1 tứ giác. Giả sử tứ giác đó là ANOP.
Từ tâm đường tròn nội tiếp I của tứ giác ANOP vẽ IA', IB', IC', ID' vuông với AP, PO, ON, NA.
Tứ giác ANOP được chia thành 4 tứ giác nội tiếp khác có đường kính là 1. Trong 4 tứ giác đó lại tồn tại 1 tứ giác chứa 2 điểm. Vì 2 điểm đó nằm trong đường tròn nội tiếp tứ giác đó nên 2 điểm đó luôn có khoảng cách không lớn hơn 1.

 

[nhatminh1472005]

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vẽ OM, ON, OP vuông với BC, CA, AB.
Dễ dàng chứng minh được [tex]\angle BOC = 2\angle ABC=120^o \Rightarrow \angle MOC=60^o[/tex]
[tex]\Rightarrow OC=\frac{MC}{sin 60^o}=2\Rightarrow OA=OB=OC=2[/tex]
Tam giác ABC được chia thành 3 tứ giác nội tiếp đường tròn có đường kính là 2.
Trong 13 điểm đã cho tồn tại 5 điểm thuộc cùng 1 tứ giác. Giả sử tứ giác đó là ANOP.
Từ tâm đường tròn nội tiếp I của tứ giác ANOP vẽ IA', IB', IC', ID' vuông với AP, PO, ON, NA.
Tứ giác ANOP được chia thành 4 tứ giác nội tiếp khác có đường kính là 1. Trong 4 tứ giác đó lại tồn tại 1 tứ giác chứa 2 điểm. Vì 2 điểm đó nằm trong đường tròn nội tiếp tứ giác đó nên 2 điểm đó luôn có khoảng cách không lớn hơn 1.

Nhưng bạn ơi, bài này mình lấy trong đề thi học sinh giỏi lớp 9 nên là chỉ được sử dụng kiến thức kỳ I lớp 9 tức là chưa được động đến tứ giác nội tiếp đâu bạn

 

[7 1 2 5]

Thế thì bạn giải thích bằng đường tròn đỡ.
Lấy trung điểm của AO là I thì 4 điểm A, O , N, P nằm trên đường tròn bán kính 1 tâm I.
Tương tự các tứ giác nội tiếp khác...