Toán 9 Chứng minh $\sqrt{b+1}+\sqrt{b-1}<2\sqrt{b}(b>1)$

[Hương Phạm]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

 

[Tư Âm Diệp Ẩn]

a) Chứng minh: [tex]\sqrt{b+1}+\sqrt{b-1}<2\sqrt{b}(b>1)\Leftrightarrow (\sqrt{b+1}+\sqrt{b-1})^2<4b[/tex]
Xét hiệu [tex]4b[/tex] và [tex](\sqrt{b+1}+\sqrt{b-1})^2[/tex] ta có:
[tex]4b-(b+1+b-1+2\sqrt{(b+1)(b-1})=4b-2b-2\sqrt{(b+1)(b-1)}[/tex]
[tex]=2b-2\sqrt{b^2-1}=2(b-\sqrt{b^2-1})[/tex] (1)
Vì [tex]b>1[/tex] nên [tex]\sqrt{b^2-1}<\sqrt{b^2}=b[/tex]
[tex]\rightarrow 2(b-\sqrt{b^2-1})>0[/tex] với mọi x
[tex]\rightarrow[/tex] đpcm.

 

[Ann Lee]

View attachment 67961

Câu b, xem tại đây
Câu c,
Áp dụng kết quả của câu b ta có:
[tex]1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{1000000}}\\<1+2\sqrt{2}-2\sqrt{1}+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}+...+2\sqrt{1000000}-2\sqrt{999999}\\=1-2\sqrt{1}+2\sqrt{1000000}=1999[/tex] (1)
[tex]1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{1000000}}\\>2\sqrt{2}-2\sqrt{1}+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}+2\sqrt{4}-2\sqrt{3}+...+2\sqrt{1000001}-2\sqrt{1000000}\\=-2\sqrt{1}+2\sqrt{1000001}>1998[/tex] (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm