Chứng minh số vô tỉ lớp 7

H

haiyen621

[TEX][/TEX]Giả sử [TEX]5-\sqrt{2}[/TEX] là số hữu tỉ
\Rightarrow [TEX]5-\sqrt{2}=\frac{m}{n}[/TEX] ( m,n [TEX]\in[/TEX] [TEX]N[/TEX] , m,n nguyên tố cùng nhau(m,n)=1)
\Rightarrow [TEX]27-10\sqrt{2}=\frac{m^2}{n^2}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\sqrt{2}=\frac{27n^2 - m^2}{10n^2}[/TEX] là số hữu tỉ
\Leftrightarrow[TEX]\frac{27n^2 - m^2}{10n^2}=\frac{a}{b}[/TEX] ( a,b [TEX]\in[/TEX] [TEX]N[/TEX] ,(a,b)=1)
\Rightarrow[TEX]\sqrt{2}=\frac{a}{b}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]2=\frac{a^2}{b^2}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]2b^2=a^2[/TEX]
\Rightarrow [TEX]a^2[/TEX] chia hết cho [TEX]2[/TEX]
\Rightarrow a chia hết cho 2
\Rightarrow [TEX]a=2k[/TEX] thay vào [TEX]2b^2=a^2[/TEX]
\Rightarrow [TEX]2b^2=4k^2[/TEX]
\Rightarrow [TEX]b^2=2k^2[/TEX]
\Rightarrow [TEX]b^2[/TEX] chia hết cho [TEX]2[/TEX]
\Rightarrow [TEX]b[/TEX] chia hết cho [TEX]2[/TEX]
\Rightarrow [TEX]b=2q[/TEX] mà [TEX]a=2k[/TEX]
\Rightarrow a và b không nguyên tố cùng nhau (mâu thuẫn với giả thiết)
\Rightarrow ĐPCM
 
Last edited by a moderator:
S

soccan

Không cần làm dài và khó hiểu thế đâu =))
Giả sử $5-\sqrt{2}=m$ ($m$ hữu tỷ khác 0)
$ \longrightarrow \sqrt{2}=5-m$
$m$ và $5$ hữu tỷ nên $5-m$ cũng là số hữu tỷ hay $\sqrt{2}$ hữu tỷ, vô lý
do đó $m$ phải vô tỷ hay $5-\sqrt{2}$ vô tỷ (đpcm)
 
Last edited by a moderator:
D

duc_2605

Giả sử :
$5 - \sqrt{2}$ là số hữu tỉ
Mà 5 là số hữu tỉ \Rightarrow $\sqrt{2}$ phải là số hữu tỉ
Mà $\sqrt{2}$ là số vô tỉ. \Rightarrow điều ta giả sử là sai.
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom