Toán 9 Chứng minh số nguyên tố

[mbappe2k5]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [TEX]a,b[/TEX] là các số nguyên dương thỏa mãn [TEX]p=a^2+b^2[/TEX] là số nguyên tố và [TEX]p-5[/TEX] chia hết cho [TEX]8[/TEX]. Giả sử [TEX]x,y[/TEX] là các số nguyên thỏa mãn [TEX]ax^2-by^2[/TEX] chia hết cho [TEX]p[/TEX]. Chứng minh rằng [TEX]x[/TEX] và [TEX]y[/TEX] đều chia hết cho [TEX]p[/TEX].

@ankhongu @Lê.T.Hà @Tiến Phùng @Mộc Nhãn

 

[Hanhh Mingg]

Vì p-5 chia hết cho 8 nên ta đặt p= 8k+5 ( k thuộc N)
Vì [tex](ax^{2})^{4k+2} - (by^{2})^{4k+2}\vdots (ax^2-by^2)[/tex] nên [tex]a^{4k+2}.x^{8k+4}-b^{4k+2}.y^{8k+4}\vdots p[/tex]
Ta thấy: [tex](a^{4k+2}+b^{4k+2})x^{8k+4}-b^{4k+2}(x^{8k+4}+y^{8k+4})\doteq a^{4k+2}.x^{8k+4}-b^{4k+2}.y^{8k+4}[/tex]
Do [tex]a^{4k+2}+b^{4k+2}=(a^2)^{2k+1}+(a^2)^{2k+1}\vdots (a^2+b^2)=p[/tex]và b<p nên [tex]x^{8k+4} + y^{8k+4}\vdots p[/tex] (1)
Nếu trong 2 số x,y có 1 số chia hết cho p thì từ (1) suy ra số còn lại cũng phải chia hết cho p
Nếu cả x và y không chia hết cho p thì theo định lí Fermat ta có
[tex]x^{8k+4}=x^{p-1}\equiv 1[/tex] (mod p)
[tex]\Rightarrow x^{8k+4}+y^{8k+4}\equiv 2[/tex] (mod p ) điều này mâu thuẫn với (1)
Nên ta có đpcm
Chả chắc có chính xác khong nữa

 

[mbappe2k5]

Vì p-5 chia hết cho 8 nên ta đặt p= 8k+5 ( k thuộc N)
Vì [tex](ax^{2})^{4k+2} - (by^{2})^{4k+2}\vdots (ax^2-by^2)[/tex] nên [tex]a^{4k+2}.x^{8k+4}-b^{4k+2}.y^{8k+4}\vdots p[/tex]
Ta thấy: [tex](a^{4k+2}+b^{4k+2})x^{8k+4}-b^{4k+2}(x^{8k+4}+y^{8k+4})\doteq a^{4k+2}.x^{8k+4}-b^{4k+2}.y^{8k+4}[/tex]
Do [tex]a^{4k+2}+b^{4k+2}=(a^2)^{2k+1}+(a^2)^{2k+1}\vdots (a^2+b^2)=p[/tex]và b<p nên [tex]x^{8k+4} + y^{8k+4}\vdots p[/tex] (1)
Nếu trong 2 số x,y có 1 số chia hết cho p thì từ (1) suy ra số còn lại cũng phải chia hết cho p
Nếu cả x và y không chia hết cho p thì theo định lí Fermat ta có
[tex]x^{8k+4}=x^{p-1}\equiv 1[/tex] (mod p)
[tex]\Rightarrow x^{8k+4}+y^{8k+4}\equiv 2[/tex] (mod p ) điều này mâu thuẫn với (1)
Nên ta có đpcm
Chả chắc có chính xác khong nữa

Nhưng cho mình hỏi chút, cái dòng thứ 4 ý, [TEX]b<p[/TEX] sao suy ra được [TEX]x^{8k+4} + y^{8k+4}\vdots p[/TEX] nhỉ? Vì nhỡ đâu [TEX]b^{4k+2}[/TEX] lại chia hết cho [TEX]p[/TEX] thì sao?

 

[7 1 2 5]

Nhưng cho mình hỏi chút, cái dòng thứ 4 ý, [TEX]b<p[/TEX] sao suy ra được [TEX]x^{8k+4} + y^{8k+4}\vdots p[/TEX] nhỉ? Vì nhỡ đâu [TEX]b^{4k+2}[/TEX] lại chia hết cho [TEX]p[/TEX] thì sao?

[tex]b< p\Rightarrow (b,p)=1[/tex] (vì p là số nguyên tố) [tex]\Rightarrow (b^{4k+2},p)=1\Rightarrow b^{4k+2}[/tex] không chia hết cho p.