Cho số tự nhiên [imath]n > 2[/imath] và số nguyên tố [imath]p[/imath] thỏa mãn [imath]p - 1[/imath] chia hết cho [imath]n[/imath] đồng thời [imath]n^3 - 1[/imath] chia hết cho [imath]p[/imath]. Chứng minh rằng [imath]n + p[/imath] là một số chính phương
Andrea Valerie
[imath]n^3 - 1 = (n-1)(n^2+ n + 1) \ \vdots \ p[/imath]
Ta có: [imath]p-1 \ \vdots \ n \to p - 1 \ge n \iff p \ge n +1[/imath]
Vì [imath]p \ge n +1 \to n - 1 \not \vdots \ p[/imath]
Suy ra: [imath]n^2 + n + 1 \ \vdots \ p[/imath]
Đặt [imath]p -1 = kn; k \ge 1 \to p = kn + 1[/imath]
Suy ra: [imath]n^2 + n + 1 \ \vdots \ (kn +1) \to n^2 + n + 1 \ge kn + 1[/imath]
[imath]\iff k \le n+1[/imath]
Suy ra: [imath]k(n^2 + n + 1) - n(kn +1) \ \vdots \ (kn+1)[/imath]
[imath]\iff (k-1)n + k \ \vdots \ (kn +1)[/imath]
Do [imath]k \ge 1 \to (k-1).n + k \ge kn +1[/imath]
Suy ra: [imath]k \ge n+1[/imath]
Vậy [imath]k = n +1 \to p = kn +1 = n^2 + n + 1[/imath]
[imath]n + p = n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2[/imath] là số chính phương
Có gì khúc mắc em hỏi lại nha
Ngoài ra, em xem thêm tại
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Số học
[Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
