Chứng minh số chính phương

[hades510]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho ab+ac+bc=1. Chứng minh: (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) là một số chính phương.

 

[vngocvien97]

Ta có:
$ab+bc+ca=1$ thay vào ta được
$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)=(a^2+ab+bc+ca)(b^2+ab+bc+ca)(c^2+ab+bc+ca)$
$=[(a+b)(b+c)(c+a)]^2$ ( phân tích thành nhân tử)
\Rightarrow$dpcm$

 

[hades510]

hỏi thêm 2 câu,Chứng minh
1, x^2+y^2+z^2+p^2+q^2 lớn hơn hoặc bằng x(y+z+p+q)
2, x^2(1+y^2)+y^2(1+z^2)+z^2(1+x^2) lớn hơn hoặc bằng 6xyz

 

[buithinhvan77]

hỏi thêm 2 câu,Chứng minh
1, x^2+y^2+z^2+p^2+q^2 lớn hơn hoặc bằng x(y+z+p+q)
2, x^2(1+y^2)+y^2(1+z^2)+z^2(1+x^2) lớn hơn hoặc bằng 6xyz

1) [TEX]x^2 + y^2 + z^2 + p^2 + q^2 \geq x(y + z + p + q)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 + p^2 + q^2 -xy - xz - xp - xq \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (\frac{x^2}{4} - xy + y^2) + (\frac{x^2}{4} - xz + z^2) + (\frac{x^2}{4} - xp + p^2) + (\frac{x^2}{4} - xq + q^2) \geq 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (\frac{x}{2} - y)^2 + (\frac{x}{2} - z)^2 + (\frac{x}{2} - p)^2 + (\frac{x}{2} - q)^2 \geq 0[/TEX] Luôn đúng => Đpcm

 

[hades510]

câu 2 nữa đê ai làm giúp vớiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

 

[anxincogiayphep]

hỏi thêm 2 câu,Chứng minh
1, x^2+y^2+z^2+p^2+q^2 lớn hơn hoặc bằng x(y+z+p+q)
2, x^2(1+y^2)+y^2(1+z^2)+z^2(1+x^2) lớn hơn hoặc bằng 6xyz

giải câu 2)
xét 3TH
+) nếu cả 3 số đều âm hoặc 1 số âm và 2 số không âm thì BĐT trên luông đúng
+) nếu cả 3 số đều không âm thì áp dụng BĐT AM-GM ta có ngay điều phải chứng minh
+) nếu 2 số âm và 1 số không âm, không mất tính tổng quát giả sử x\geq0
ta áp dụng BĐT AM-GM:
1+x^2\geq2x
áp dụng cho cả ba
VT\geq3 căn bậc 3(2x^3.y^2.z^2.(1+y^2)(1+z^2))
nên cần phải cm
(1+y^2)(1+z^2)\geq4yz
khai triển ta có ngay BĐT hiển nhiên (y-z)^2+(yz-1)^2\geq0(đpcm)