Chứng minh Sin1(độ) là số vô tỷ

[taphuongnam]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh Sin1(độ) là số vô tỷ.
Bài này mình thấy khá hay. vì đề bài ngắn. không biết có khó không nhi

 

[ket_anh]

Chứng minh Sin1(độ) là số vô tỷ.
Bài này mình thấy khá hay. vì đề bài ngắn. không biết có khó không nhi

Trong diễn giải sau ta dùng góc đo bằng độ.
Ta chứng minh sin(1) là vô tỷ.
Ta chứng mính bằng phản chứng. Giả sử sin(1) là hữu tỷ.
Ta có
sin(3*x) = 3*sin(x) - 4*[sin(x)]^3 *
cos(3*x) = (1 - 4*(sin(x))^2)*cos(x) **
=>
1. nếu sin(x) là hữu tỷ thì sin(3*x) là hữu tỷ (do *)
2. Nếu sin(x) và cos(3*x) là hữu tỷ thì cos(x) là hữu tỷ (do **)
3. Nếu sin(x) và cos(x) hữu tỷ thì cos(3*x) cũng hữu tỷ (do **)

Do giả thiết sin(1) là hữu tỷ nên ta có sin(3), sin(9), sin(27), sin(81) là hữu tỷ (do 1)
cos(9) = sin(81) là hữu tỷ
=> cos(27) là hữu tỷ (do 3 vì sin(9) và cos(9) hữu tỷ)
Ta cũng có cos(3) là hữu tỷ (do 2 vì sin(3) và cos(9) hữu tỷ)
cos(30) = cos(27 + 3) = cos(27)*cos(3) - sin(27)*sin(3)
VP là hữu tỷ do cos(27), cos(3), sin(27) và sin(3) hữu tỷ)
=> cos(30) là hữu tỷ => vô lý vì cos(30) = cănhai(3)/2 là vô tỷ

=> sin(1) là vô tỷ

nguồn ở mạng =))